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行列の積の固有多項式に関する等式

行列の積の固有多項式に関する等式とその証明.

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

2014 年 7 月 24 日更新。

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行列式の問題

行列式の問題とその解答例を自分のためにメモ。

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LU分解とQR分解

LU 分解

行列 A を下三角行列 L と上三角行列 U の積に分解すること:A = LU。

  • LU 分解は必ずしもできるとは限らない。また、LU 分解が存在しても一意的とは限らない。
  • A が正定値対称行列ならば、LU 分解可能。Cholesky 分解は LU 分解の特別な場合。

LDU 分解

行列 A を対角成分が 1 の下三角行列 L、対角行列 D、対角成分が 1 の上三角行列 U の積に分解すること:A = LDU。

  • LDU 分解は存在すれば一意的。

QR 分解

複素行列 A をユニタリ行列 Q と上三角行列 R の積に分解すること:A = QR。

  • 正則行列 A に対して、その QR 分解は一意的に存在する。
  • A が実行列の場合、Q、R として実行列がとれる。

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線形変換の固有多項式についての練習問題

線形変換の固有多項式についての練習問題とその解答例。次の記事で使用する予定。

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行列式に関するある公式

2 つの 2 次元ベクトルの成分を並べてできる行列の行列式に関する公式。あるいは、行列式の符号の決定。

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