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勝間和代さんによる条件付確率の解説について

asahi.comに掲載された勝間和代さんによる条件付確率の解説が正しい/正しくないでコメント欄が盛り上がっています。この記事では、そこで挙げられた例題の解答を示します。

勝間さんによる解説

asahi.com:後付けの条件で確率は変わる――ベイズの定理

の中で、以下の問題が例題に挙げられていました。

区別のつかない三つの袋の中に、それぞれ「赤・赤」「赤・白」「白・白」の二つの球が入っているとします。袋を一つ選んで、その中から球を一つ取りだしたところ、赤球であった場合、残りのもう一つの球が白球である確率はどのくらいでしょうか?

この問題の答えを、勝間さんは 1/3 であると説明しているのですが、これが正しい/正しくないの議論でコメント欄が盛り上がっています。

私は、この問題の答えが 1/3 であることを支持します。解答を述べる前に、条件付確率とベイズの定理について思い出しておきます。

条件付確率とベイズの定理

条件付確率

事象 A の確率を P(A) で表す。

A, H を事象とし、P(H)≠0 とする。事象 H が起こったという条件の下での事象 A の起こる条件付確率 P(A|H) を

P(A|H)=P(A∩H)/P(H)

によって定義する。

ベイズの定理

Ωを全事象、A_1, A_2, A_3、H を事象とし、Ω=A_1+A_2+A_3 とする。このとき、各 i=1, 2, 3 に対して、

                          P(A_i)P(H|A_i)
P(A_i|H)=----------------------------------------------
          P(A_1)P(H|A_1)+P(A_2)P(H|A_2)+P(A_3)P(H|A_3)

が成り立つ。これをベイズ(Bayes)の定理という。

解答

問題の状況を整理

袋を選ぶ試行については、

  • 3つの袋のうち1つを選ぶ確率はそれぞれ 1/3。

袋から球を取り出す試行については、

  • 2つの赤球が入った袋を選んだとき、その袋から赤球を取り出す確率は 1。
  • 赤球と白球が入った袋を選んだとき、その袋から赤球を取り出す確率は 1/2。
  • 2つの白球が入った袋を選んだとき、その袋から赤球を取り出す確率は 0。

解答

2つの赤球が入った袋を選ぶ事象を A_1、赤球と白球が入った袋を選ぶ事象を A_2、 2つの白球が入った袋を選ぶ事象を A_3、袋から赤球を取り出す事象を H とする。

P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=1/3,
P(H|A_1)=1, 
P(H|A_2)=1/2,
P(H|A_3)=0

であるから、ベイズの定理により、

                          P(A_2)P(H|A_2)
P(A_2|H)=---------------------------------------------
          P(A_1)P(H|A_1)+P(A_2)P(H|A_2)+P(A_3)P(H|A_3)

                  1/3×1/2
        =------------------------
          1/3×1+1/3×1/2+1/3×0

        =1/3. 

これが求める確率である。

問題を少し変えると・・・

次の問題は、最初の問題と似て非なるものなので注意が必要です。特に、太字にした条件付確率の条件にあたる部分は、同値条件だと錯覚しやすい典型例です。

区別のつかない三つの袋の中に、それぞれ「赤・赤」「赤・白」「白・白」の二つの球が入っているとします。袋を一つ選んだら赤球が入っていた場合、もう一つの球が白球である確率はどのくらいでしょうか?

この問題の解答は 1/3 ではなく 1/2 になります。

問題の状況を整理

袋を選ぶ試行については、

  • 3つの袋のうち1つを選ぶ確率はそれぞれ 1/3。

袋の中に赤球が入っているかどうかという試行については、

  • 2つの赤球が入った袋を選んだとき、その袋に赤球が入っている確率は 1。
  • 赤球と白球が入った袋を選んだとき、その袋に赤球が入っている確率は 1。
  • 2つの白球が入った袋を選んだとき、その袋に赤球が入っている確率は 0。

解答

2つの赤球が入った袋を選ぶ事象を A_1、赤球と白球が入った袋を選ぶ事象を A_2、 2つの白球が入った袋を選ぶ事象を A_3、袋に赤球が入っている事象を H とする。

P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=1/3,
P(H|A_1)=1, 
P(H|A_2)=1,
P(H|A_3)=0

であるから、ベイズの定理により、

                          P(A_2)P(H|A_2)
P(A_2|H)=----------------------------------------------
          P(A_1)P(H|A_1)+P(A_2)P(H|A_2)+P(A_3)P(H|A_3)

                  1/3×1
        =----------------------
          1/3×1+1/3×1+1/3×0

        =1/2. 

これが求める確率である。

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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