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モンティ・ホール問題を直接的に解く

モンティ・ホール問題を、ベイズの定理を使わず直接的に解いてみた。

モンティ・ホール問題とは

モンティ・ホール問題とは、以下のような問題である。

テレビのクイズ番組で、回答者の前に3つのドアがある。1つのドアの後ろには豪華景品があり2つのドアの後ろにはヤギがいる(ハズレを意味する)。まず、回答者が1つのドアを選ぶ(この時点ではまだドアは開けない)。そのあと、ドアの後ろに何があるかを知っている司会者のモンティ・ホール氏が、回答者の選ばなかった残り2つのドアのうちヤギがいる方のドアを開ける。ここで回答者は、自分が選んだドアと、残った開けられていないドアを変更してもよいと言われる。回答者はドアを変更すべきか。

この問題は、3ドア問題とも呼ばれている。

問題の内容を整理すると、3つのドアを a, b, c とするとき、ドアが当たりか否かという試行において、

  • ドア a, b, c が当たりである確率はそれぞれ 1/3 ずつである。

司会者がドアを開ける試行において、回答者がドア a を選んだとき、司会者はドア a を決して開けないので、

  • ドア a が正解の場合、司会者がドア b を開ける確率とドア c を開ける確率はそれぞれ 1/2。
  • ドア b が正解の場合、司会者がドア c を開ける確率は 1。
  • ドア c が正解の場合、司会者がドア b を開ける確率は 1。

回答者がドア b やドア c を選んだ場合も同様である。

解答

3つのドアを a, b, c とする。回答者が最初に選んだドアが a であるとしても一般性を失わない。

ドアが当たりか否かという試行の確率空間を (Ω_0, P_0) とおき、a が当たりである場合を a∈Ω_0 とし、他も同様とする:

Ω_0={a, b, c}, 
P_0({a})=P_0({b})=P_0({c})=1/3. 

a, b, c∈Ω_0 それぞれに対して、司会者がドアを開ける試行の確率空間 (Ω_a, P_a), (Ω_b, P_b), (Ω_c, P_c) が定まる。ドア a が当たりのとき司会者がドア b を開ける場合を b∈Ω_a とし、他も同様とする:

Ω_a={b, c}, P_a({b})=P_a({c})=1/2, 
Ω_b={c}, P_b({c})=1,
Ω_c={b}, P_c({b})=1.

このとき、問題の状況を定式化した確率空間 (Ω, P) は、

Ω={(x, y)|x∈Ω_0, y∈Ω_x}
  ={(a, b), (a, c), (b, c), (c, b)}, 

P({(a, b)})=P_0({a})P_a({b})=1/3×1/2=1/6, 
P({(a, c)})=P_0({a})P_a({c})=1/3×1/2=1/6, 
P({(b, c)})=P_0({b})P_b({c})=1/3×1=1/3, 
P({(c, b)})=P_0({c})P_c({b})=1/3×1=1/3

によって定まる(2つの試行の樹形結合の確率空間)。

ドア a が当たりであるという事象を A_1とし、ドア b, c についての事象も同様に A_2, A_3 とおく。

また、司会者がドア b を開けるという事象を H_2、ドア c を開けるという事象を H_3 とおく。すると、

A_1={(a, y)∈Ω|y∈Ω_a}={(a, b), (a, c)}, 
A_2={(b, y)∈Ω|y∈Ω_b}={(b, c)},
A_3={(c, y)∈Ω|y∈Ω_c}={(c, b)},

H_2={(x, b)∈Ω|x∈Ω_0}={(a, b), (c, b)},
H_3={(x, c)∈Ω|x∈Ω_0}={(a, c), (b, c)}. 

∴ A_1∩H_2={(a, b)}, A_1∩H_3={(a, c)}. 

これより、

P(H_2)=P({(a, b)})+P({(c, b)})=1/6+1/3=3/6, 
P(A_1∩H_2)=P({(a, b)})=1/6,
P(A_3∩H_2)=P({(c, b)})=1/3,

P(H_3)=P({(a, c)})+P({(b, c)})=1/6+1/3=3/6, 
P(A_1∩H_3)=P({(a, c)})=1/6,
P(A_2∩H_3)=P({(b, c)})=1/3. 

司会者がドア b を開けるという条件の下で、ドア a が当たりである(条件付)確率 P(A_1|H_2) とドア c が当たりである(条件付)確率 P(A_3|H_2) を計算して比較すると、

P(A_1|H_2)=P(A_1∩H_2)/P(H_2)=1/3, 
P(A_3|H_2)=P(A_3∩H_2)/P(H_2)=2/3. 

∴ P(A_1|H_2)<P(A_3|H_2). 

同様に, 司会者がドア c を開けるという条件の下で、ドア a が当たりである(条件付)確率 P(A_1|H_3) とドア b が当たりである(条件付)確率 P(A_3|H_3) を計算して比較すると、

P(A_1|H_3)=P(A_1∩H_3)/P(H_3)=1/3, 
P(A_2|H_3)=P(A_2∩H_3)/P(H_3)=2/3. 

∴ P(A_1|H_3)<P(A_2|H_3). 

したがって、司会者が b, c のどちらのドアを開けるにせよ、ドアを変更すべきである。

参考文献

  • 伊藤清:確率論, 岩波書店, 1991
  • 市川伸一:確率の理解を探る 3囚人問題とその周辺, 共立出版, 1998

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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