7の倍数の判定法

大きい桁の整数を 7 で割った余りを求める方法。

計算手順

  1. 数字を下の方から 3 桁ごとに区切っていく。そして、下から順に足す・引くを交互に繰り返す。その操作を 3 桁以下の数が得られるまで繰り返す。
  2. 手順 1 で得られた 3 桁の数を ±abc とおくとき、±(2×a+3×b+c) (複合同順)を計算し、それを 7 で割った余りを求める。特に、余りが 0 のとき、またそのときに限り、もとの数は 7 の倍数である。

理論的根拠は次のとおり:手順 1 は、10^3≡-1 (mod 7) および 10^6≡1 (mod 7) を利用する。手順 2 は、10^2×a+10×b+c≡2×a+3×b+c (mod 7) を利用する。a, b, c はいずれも 9 以下なので、2×a+3×b+c≦54。

具体例

例:1472589

1472589→1,472,589. 

589-472+1=118,
2×1+3×1+8=13,
13=7×1+6. 

∴ 余りは 6. 

例:3816547

3816547→3,816,547. 

547-816+3=-266,
-(2×2+3×6+6)=-28,
-28=7×(-4)+0. 

∴ 余りは 0. よって, 3816547 は 7 の倍数. 

この計算方法であれば、通常の表示桁数 8 桁程度の電卓でも十分役に立つ(ただし、1 桁どうしの掛け算は暗算したほうが効率的かもしれない)。

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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