実2次体の基本単数のPARI-GPによる計算例

50 以下の平方因子を持たない整数 m>1 に対して、2次体 Q(√m) の基本単数をPARI-GPで計算してみた。

gp> {
for(m = 2, 50,
  if(issquarefree(m),,next);
  disc = quaddisc(m);
  print(m,": ",quadunit(disc));
);}

出力結果:

2: 1 + w
3: 2 + w
5: w
6: 5 + 2*w
7: 8 + 3*w
10: 3 + w
11: 10 + 3*w
13: 1 + w
14: 15 + 4*w
15: 4 + w
17: 3 + 2*w
19: 170 + 39*w
21: 2 + w
22: 197 + 42*w
23: 24 + 5*w
26: 5 + w
29: 2 + w
30: 11 + 2*w
31: 1520 + 273*w
33: 19 + 8*w
34: 35 + 6*w
35: 6 + w
37: 5 + 2*w
38: 37 + 6*w
39: 25 + 4*w
41: 27 + 10*w
42: 13 + 2*w
43: 3482 + 531*w
46: 24335 + 3588*w
47: 48 + 7*w

ここで、出力結果に現れる w は、2次体の標準的な整数底を 1, w と表したときの w である。つまり、

m≡1    (mod 4) のとき、 w=(1+√m)/2, 
m≡2, 3 (mod 4) のとき、 w=√m. 

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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