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GAPにおける交代群の構成方法について

GAP(Groups, Algorithms and Programming)において交代群を構成する仕方は何通りかあります。

交代群の構成

AlternatingGroupコマンドで構成:

gap> A5 := AlternatingGroup(5);
Alt( [ 1 .. 5 ] )

生成元を指定して構成:

gap> G1 := Group([(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5)]);
Group([ (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5) ])

あるいは、

gap> S5 := SymmetricGroup(5);
Sym( [ 1 .. 5 ] )
gap> G2 := Subgroup(S5, [(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5)]);
Group([ (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5) ])

(n次)交代群は(n次)対称群の交換子群:

gap> G3 := CommutatorSubgroup(S5, S5);
Group([ (1,2,3), (2,3,4), (2,4)(3,5) ])

それぞれの群が等しいことの確認

一般に、2つの有限群 G, H について、H が G の部分群かつ両者の位数が一致すれば、群として G = H が成り立ちます。

2つの群が一致することをいうために、一般には集合だけでなく演算も含めて一致することを確認する必要があります。今回の場合、元として置換だけを扱っており、積は共通です。したがって、集合として等しいことをいえば十分です。

Sizeコマンドは、群の位数を返します。IsSubsetコマンドは、第2引数が第1引数の部分集合かどうかを判定します。

gap> IsSubset(A5, G1) and Size(A5) = Size(G1);
true
gap> IsSubset(A5, G2) and Size(A5) = Size(G2);
true
gap> IsSubset(A5, G3) and Size(A5) = Size(G3);
true

ところで、一般に、5次以上の交代群 An の交換子群は An 自身に等しいことが知られています。例えば、5次の場合をGAPで確認してみると、次のようになります。

gap> G4 := CommutatorSubgroup(A5, A5);
Group([ (1,3,4), (2,5,3) ])
gap> IsSubset(A5, G4) and Size(A5) = Size(G4);
true

※ CommutatorSubgroupコマンドを実行したあとの結果は毎回変わります。

基本関係から構成

基本関係

a^5=b^3=(ab)^2=1

によって、5次交代群と同型な群が与えられます。

gap> f:= FreeGroup("a", "b");
<free group on the generators [ a, b ]>
gap> G5 := f/[f.1^5, f.2^3, (f.1*f.2)^2];
<fp group on the generators [ a, b ]>
gap> StructureDescription(G5);
"A5"

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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