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楕円曲線のトージョン部分群の例

有理数体の上で定義された楕円曲線のトージョン部分群(=有理点全体からなる群における、有限位数の点からなる部分群)の例。

楕円曲線 トージョン部分群 生成元
y2 = x3 + 2 0 []
y2 = x3 + x Z/2Z [[0, 0]]
y2 = x3 + 4 Z/3Z [[0, 2]]
y2 = x3 + x + 2 Z/4Z [[1, 2]]
y2 = x3 - 432 x + 8208 Z/5Z [[-12, 108]]
y2 = x3 + 1 Z/6Z [[2, 3]]
y2 = x3 - 43 x + 166 Z/7Z [[3, 8]]
y2 = x3 - 5211 x + 319734 Z/8Z [[-21, 648]]
y2 = x3 - 219 x + 1654 Z/9Z [[11, 24]]
y2 = x3 - 58347 x + 3954150 Z/10Z [[3, 1944]]
y2 = x3 - 157707 x + 78888006 Z/12Z [[-333, 9720]]
y2 = x3 - x Z/2Z+Z/2Z [[0, 0], [1, 0]]
y2 = x3 - 351 x + 1890 Z/2Z+Z/4Z [[6, 0], [33, 162]]
y2 = x3 - 24003 x + 1296702 Z/2Z+Z/6Z [[66, 0], [471, 9720]]
y2 = x3 - 1386747 x + 368636886 Z/2Z+Z/8Z [[282, 0], [1227, 22680]]

一般に、有理数体上の楕円曲線のトージョン部分群は、

  • 0 (単位群)
  • Z/NZ (2≦N≦10 または N=12)
  • Z/2Z + Z/2NZ (1≦N≦4)

のいずれかに同型であることが知られている(Mazurの定理)。

参考文献

  • シルヴァーマン, テイト:楕円曲線論入門, シュプリンガー, 1995

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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