スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

整域でない単項イデアル環の例 補足

以前の記事で剰余環 Z/nZ が単項イデアル環であることを証明しましたが、もっとシンプルな証明があったので補足します。

整数 x を代表元とする n を法とする同値類を [x] で表すことにする。この記号により、Z/nZ は

Z/nZ={[x]|x は整数、0≦x≦n-1}

と表せる。

I を Z/nZ のイデアルとする。I が零イデアルならば、I は [0] によって生成される単項イデアルである。

以下、I は零イデアルでないと仮定する。I は [0] でない元を含む。そのとき、代表元 1, 2, ..., n-1 の中で [b]∈I となる最小の b が存在する。I の元 X を任意にとると、ある整数 a が存在して、X=[a]。さらに、ある整数 q、r が存在して、

  a=bq+r, 0≦r<b. 

I はイデアルだから、

  [r]=[a-bq]=[a]+[b][-q]∈I. 

もし r≠0 なら b の最小性に反するから、r=0 でなければならない。よって、

  X=[a]=[b][-q]∈([b]). 

ゆえに、I⊆([b])。逆の包含関係は明らかだから、I=([b])。すなわち、I は単項イデアルである。

参考文献

  • 彌永昌吉, 有馬哲, 浅枝陽: 詳解代数入門, 東京図書, 1990, §2.2の練習問題.
  • 【theme : 数学
    【genre : 学問・文化・芸術

    プロフィール

    よしいず

    Author:よしいず
    MATHEMATICS.PDFというウェブサイトを運営しています。

    管理の都合上、トラックバックとコメントはオフにしてあります。ブログ経験者なら分かっていただけると思いますが、スパム(アダルトやその他の宣伝)ばかりなのが現実です。

    リンクは自由です。当サイトの記事に対する間違いの指摘・意見・感想などを述べた記事からのリンクは歓迎です。ただし、ブログ記事アップ直後はミスが多く、頻繁に修正します。場合によっては削除する可能性もあります。その際、何も断りもなく修正・削除しますがご了承ください。内容を参考にする場合には投稿後一週間ほど様子を見てからにしてください(笑)。

    記事の間違いを指摘するときは、その具体的箇所、理由(仕様に反するなど)・根拠(参考にした文献など)、代替案(同じ結果を得るための正しいやり方)も教えてください。そうしないと、(指摘される側および第三者はその時点では無知の状態なので、)どこが間違いなのか分かりませんし、本当に間違っているのかどうかが判断・検証できません。実際、間違いだと指摘されたことが結局は正しかったというケースもありますので。

    このブログのタイトル一覧

    リンク
    月別アーカイブ
    カテゴリ
    最新記事
    検索フォーム
    RSSリンクの表示
    上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。