abc予想

abc 予想のステートメントを自分のためにメモ。

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準備

$m$ を $0$ でない整数とし, $$ m = \pm p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{r}^{m_{r}} $$ を $m$ の素因数分解とする. このとき, $$ N_{0}(m) = p_{1}p_{2}\cdots p_{r} $$ と定める. $N_{0}(m)$ を $m$ の radical という.

abc 予想

任意の実数 $\varepsilon>0$ に対して, ある定数 $K(\varepsilon)$ が存在して, $a+b+c=0$ を満たす任意の $0$ でない整数 $a$, $b$, $c$ に対して, 不等式 $$ \max(\lvert a\rvert, \lvert b\rvert, \lvert c\rvert) \leq K(\varepsilon)(N_0(abc))^{1+\varepsilon} $$ が成り立つ.

参考文献

  • S. Lang: Math Talks for Undergraduates, Springer, 1999.

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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