ArtinのL関数

Artin の L 関数の定義と Artin 予想。

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$L/K$ を有限次代数体の Galois 拡大とし, $G=\mathrm{Gal}(L/K)$ を $L/K$ の Galois 群とする. $\mathfrak{o}_{K}$, $\mathfrak{o}_{L}$ をそれぞれ $K$, $L$ の整数環とする.

$K$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ に対し, $$ N\mathfrak{p} = \lvert\mathfrak{o}_{K}/\mathfrak{p}\rvert $$ を $\mathfrak{p}$ のノルムという.

$L$ の素イデアル $\mathfrak{P}$ に対し, \begin{align*} D_{\mathfrak{P}} &= \{ \sigma\in G\mid \sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P} \}, \\ I_{\mathfrak{P}} &= \{ \sigma\in G\mid \sigma(\alpha) \equiv \alpha\bmod{\mathfrak{P}}\;(\forall\alpha\in\mathfrak{o}_{L}) \} \end{align*} をそれぞれ $\mathfrak{P}$ の $L/K$ に関する分解群, 惰性群という. $I_{\mathfrak{P}}$ は $D_{\mathfrak{P}}$ の正規部分群であり, 剰余群 $D_{\mathfrak{P}}/I_{\mathfrak{P}}$ が定まる. また, $\sigma\in G$ が $\mathfrak{P}$ の Frobenius 自己同型であるとは, $$ \sigma(\alpha) \equiv \alpha^{N\mathfrak{p}}\bmod{\mathfrak{P}}\quad (\forall\alpha\in \mathfrak{o}_{L}) $$ が成り立つときにいう. $\sigma_{\mathfrak{P}}\in D_{\mathfrak{P}}$ であり, 剰余類 $\sigma_{\mathfrak{P}}I_{\mathfrak{P}}$ は $D_{\mathfrak{P}}/I_{\mathfrak{P}}$ の生成元になる.

$V$ を $\mathbb{C}$ 上の有限次元ベクトル空間とし, その次元を $n$ とする. $V$ の線形変換の全体は $\mathbb{C}$ 上の多元環になる. つまり, 和・差・スカラー倍が定まる. $V$ の基底を一つ固定したとき, 線形変換にその表現行列を対応させることによって, 線形変換の全体は $\mathbb{C}$ 上の $n$ 次正方行列全体と多元環として同型になる. $V$ の線形変換 $T$ の行列式 $\det T$ は, $T$ の表現行列の行列式として定義される. $V$ を明示するとき, $\det T$ を $\det(T\mid V)$ のように書く. 行列式の値は, 表現行列を考えるときの基底の取り方には依存しない.

$GL(V)$ を $V$ の一般線形群とするとき, 準同型写像 $\rho:G\rightarrow GL(V)$ を $G$ の表現という. 表現 $\rho$ が与えられたとき, $$ G\times V\longrightarrow V,\quad (\sigma, x) \longmapsto \bigl(\rho(\sigma)\bigr)(x) $$ により, $G$ から $V$ への作用が定まる.

$V_{\mathfrak{P}}$ を $I_{\mathfrak{P}}$ が自明に作用するような元全体からなる $V$ の部分空間とする. 例えば, $\mathfrak{P}$ が $L/K$ において不分岐のとき, $I_{\mathfrak{P}}=\{\mathrm{id}_{L}\}$ であるから, $V_{\mathfrak{P}}=V$ である. 任意の $\sigma\in G$, $\tau\in I_{\mathfrak{P}}$, $x\in V_{\sigma(\mathfrak{P})}$ に対して, $\tau'=\sigma^{-1}\tau\sigma$ とおくと, $I_{\sigma(\mathfrak{P})} = \sigma^{-1}I_{\mathfrak{P}}\sigma$ より $\tau'\in I_{\sigma(\mathfrak{P})}$ であって, \begin{align*} \rho(\tau)\bigl(\rho(\sigma)(x)\bigr) &= \rho(\tau\sigma)(x) = \rho(\sigma\tau')(x) \\ &= \rho(\sigma)\bigl((\rho(\tau')(x)\bigr) \\ &= \rho(\sigma)(x). \end{align*} ゆえに, $\rho(\sigma)(x)\in V_{\mathfrak{P}}$. したがって, $\rho(\sigma)$ は $V_{\sigma(\mathfrak{P})}$ から $V_{\mathfrak{P}}$ への線形写像である. 同様にして, $\rho(\sigma^{-1})$ が $V_{\mathfrak{P}}$ から $V_{\sigma(\mathfrak{P})}$ への線形写像であることも示せる. $\rho(\sigma^{-1})$ は $\rho(\sigma)$ の逆写像である. したがって, $\rho(\sigma)$ は線形同型である. 特に, $\sigma\in D_{\mathfrak{P}}$ ならば, $\sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}$ であるから, $\rho(\sigma)$ は $V_{\mathfrak{P}}$ の可逆な線形変換になる.

さて, $\rho:G\rightarrow GL(V)$ を $G$ の表現, $I_{V_{\mathfrak{P}}}$ を $V_{\mathfrak{P}}$ 上の恒等変換, $\mathfrak{p}$ を $K$ の素イデアルとする. $\mathfrak{P}$ を $\mathfrak{p}$ の素因子であるような $L$ の素イデアル, $\sigma_{\mathfrak{P}}$ を $\mathfrak{P}$ の Frobenius 自己同型とする.

任意の $t\in\mathbb{C}$ に対して, $V_{\mathfrak{P}}$ の線形変換についての行列式 $$ \det\bigl(I_{V_{\mathfrak{P}}}-t\,\rho(\sigma_{\mathfrak{P}})\bigm| V_{\mathfrak{P}}\bigr) $$ は $\mathfrak{p}$ のみに依存し, $\mathfrak{P}$ の選び方によらない. なぜなら, $\mathfrak{p}$ の素因子であるような $L$ の別の素イデアル $\mathfrak{P}'$ をとると, ある $\sigma\in G$ が存在して, $\mathfrak{P}' = \sigma(\mathfrak{P})$ かつ \begin{align*} &\sigma_{\mathfrak{P}}(\alpha)\equiv\alpha^{N\mathfrak{p}}\bmod{\mathfrak{P}}\quad(\forall\alpha\in\mathfrak{o}_{L}) \\ &\Longleftrightarrow \sigma^{-1}\sigma_{\mathfrak{P}}\sigma(\alpha)\equiv \alpha^{N\mathfrak{p}}\bmod{\sigma(\mathfrak{P})}\quad(\forall\alpha\in\mathfrak{o}_{L}) \\ &\Longleftrightarrow \sigma^{-1}\sigma_{\mathfrak{P}}\sigma(\alpha)\equiv \alpha^{N\mathfrak{p}}\bmod{\mathfrak{P}'}\quad(\forall\alpha\in\mathfrak{o}_{L}). \end{align*} 一方, $\mathfrak{P}'$ のある Frobenius 自己同型の代表する $D_{\mathfrak{P}'}/I_{\mathfrak{P}'}$ の剰余類はちょうど $\mathfrak{P}'$ のFrobenius 自己同型全体に一致する. ゆえに, $$ \sigma_{\mathfrak{P}'}\equiv\sigma^{-1}\sigma_{\mathfrak{P}}\sigma \bmod{I_{\mathfrak{P}'}}. $$ よって, $V_{\mathfrak{P}'}$ の線形変換として, $$ \rho(\sigma_{\mathfrak{P}'}) = \rho(\sigma^{-1}\sigma_{\mathfrak{P}}\sigma) = \rho(\sigma)^{-1}\rho(\sigma_{\mathfrak{P}})\rho(\sigma). $$ 先に述べたことから, $\rho(\sigma_{\mathfrak{P}})$ は $V_{\mathfrak{P}}$ の線形変換, $\rho(\sigma_{\mathfrak{P}'})$ は $V_{\mathfrak{P}'}$ の線形変換, $\rho(\sigma):V_{\mathfrak{P}'}\rightarrow V_{\mathfrak{P}}$ は線形同型である. したがって, $$ \det\bigl(I_{V_{\mathfrak{P}}}-t\,\rho(\sigma_{\mathfrak{P}})\bigm| V_{\mathfrak{P}}\bigr) = \det\bigl(I_{V_{\mathfrak{P}'}}-t\,\rho(\sigma_{\mathfrak{P}'})\bigm| V_{\mathfrak{P}'}\bigr) $$ が成り立つ (前回の記事を参照).

そこで, $t=(\mathcal{N}\mathfrak{p})^{-s}$ とし, $s$ を変数とする複素数値関数 $L(s, \rho)$ を $$ L(s, \rho) = \prod_{\mathfrak{p}}\frac{1}{\det\left(I_{V_{\mathfrak{P}}}-(\mathcal{N}\mathfrak{p})^{-s}\rho(\sigma_{\mathfrak{P}})\bigm| V_{\mathfrak{P}}\right)} $$ とおくことによって定める. ただし, $\mathfrak{p}$ は $K$ の素イデアル全体にわたる. $L(s, \rho)$ を $\rho$ に関する Artin の $L$ 関数という.

$L(s, \rho)$ に関して, Artin 予想と呼ばれる次の予想がある:$\rho$ が自明でない既約表現ならば, $L(s, \rho)$ は整関数 (= $\mathbb{C}$ 上の正則関数) である.

ここで, 表現 $\rho:G\rightarrow GL(V)$ が既約であるとは, $V$ 自身と $\{0\}$ 以外に $V$ の $\rho$-不変部分空間が存在しないときにいう. $V$ の部分空間 $W$ が $\rho$-不変であるとは, 任意の $g\in G$ に対して $$ \rho(g)(x) \in W\quad (\forall x\in W) $$ が成り立つときにいう.

Artin 予想は, $L/K$ が Abel 拡大の場合には証明されているが, 一般の場合は未解決である.

参考文献

  • J. Neukirch (著), 足立恒雄 (監), 梅垣敦紀 (訳): 代数的整数論, 2003.
  • 藤崎源二郎: 代数的整数論入門 (下), 裳華房, 1975.

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