圏と関手(1)

圏と関手の定義。

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まず, 集合の全体からなる「集まり」, 位相空間の全体からなる「集まり」, 群全体からなる「集まり」などを考えるために, クラスという概念を導入する. というのも, 例えば, 集合の全体からなる集合なるものを考えると逆理の生じることが知られているからである. 集合はクラスの特別な場合と考え, クラスは必ずしも集合ではないとする.

$\mathcal{C}$ は, 次のものから構成される.

(1) 一つのクラス $\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$.

(2) 各 $X$, $Y\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対して与えられる集合 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$.

(3) 各 $X$, $Y$, $Z\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対して与えられる写像 $$ \gamma_{X,Y,Z}: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)\times\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, Z) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Z). $$ $\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ の元を $\mathcal{C}$ の対象という. $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ の元 $f$ を $\mathcal{C}$ のという. より詳しくは, $X$ から $Y$ への射といい, $f:X\rightarrow Y$ で表す. またこのとき, $X$ を $f$ の始域, $Y$ を $f$ の終域といい, これらを $X=\mathop{\mathrm{dom}}f$, $Y=\mathop{\mathrm{cod}}f$ と書く. $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$, $y\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, Z)$ に対して, $\gamma_{X,Y,Z}(f, g)$ を $g\circ f$ で表し, $f$ と $g$ との合成という.

さらに, $\mathcal{C}$ は, 次の条件を満たす.

(i) 任意の $X$, $Y$, $X'$, $Y'\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対して, $$ \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)\cap\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X', Y')\neq\emptyset\Longrightarrow X=X', Y=Y'. $$

(ii) 任意の $X\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対して, ある $\mathrm{id}_{X}\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, X)$ が存在して, 任意の $Y\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$, $g\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, X)$ に対して, $$ f\circ\mathrm{id}_{X} = f,\quad \mathrm{id}_{X}\circ g = g. $$ $\mathrm{id}_{X}$ を $X$ の恒等射という.

(iii) 射の合成に関して結合法則が成り立つ. すなわち, 各 $X$, $Y$, $Z$, $W\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ について, 任意の $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$, $g\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, Z)$, $h\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(Z, W)$ に対して, $$ (h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f). $$

以上が, 圏の定義である.

集合を対象とし, 写像を射とする圏を集合の圏といい, $\boldsymbol{Set}$ で表す.

次回へつづく。

参考文献

  • 河田敬義: ホモロジー代数, 岩波書店, 1990.
  • 松村英之: 集合論入門, 朝倉書店, 1966.

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