圏と関手(2)

圏と関手の定義。前回のつづき。

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単射, 全射, 同等射

$\mathcal{C}$ を圏とし, $X$, $Y\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ とする.

$f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ が単射であるとは, 任意の $Z\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, $u$, $v\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(Z, X)$ に対して, $$ f\circ u = f\circ v \Longrightarrow u=v $$ が成り立つことをいう.

$f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ が全射であるとは, 任意の $Z\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, $u$, $v\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, Z)$ に対して, $$ u\circ f = v\circ f\Longrightarrow u=v $$ が成り立つことをいう.

全射かつ単射であるような射を全単射という.

$f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ に対して, ある $g\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, X)$ が存在して, $$ g\circ f = \mathrm{id}_{X},\quad f\circ g = \mathrm{id}_{Y} $$ が成り立つとき, $f$ は同等射であるといい, 対象 $X$ と $Y$ とは同型であるという. ここで, $\mathrm{id}_{X}$, $\mathrm{id}_{Y}$ はそれぞれ $X$, $Y$ の恒等射である.

同等射は全単射であるが, 全単射は必ずしも同等射とは限らない.

次回へつづく。

参考文献

  • 河田敬義: ホモロジー代数, 岩波書店, 1990.
  • 松村英之: 集合論入門, 朝倉書店, 1966.

【theme : 数学
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