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圏と関手(3)

圏と関手の定義。前回のつづき。

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関手

$\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$ を圏とする.

$\mathcal{C}$ から $\mathcal{C}'$ への関手 $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{C}'$ とは, 各 $X\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対して $F(X)\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C}')$ を対応させ, 各 $X$, $Y\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ について, 各 $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ に対して $F(f)\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(F(X), F(Y))$ を対応させる規則 $F$ で, 次の条件を満たすものをいう.

(i) 任意の $X\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対して, $F(\mathrm{id}_{X})=\mathrm{id}_{F(X)}$.

(ii) 各 $X$, $Y$, $Z\in\mathcal{C}$ について, 任意の $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$, $g\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, Z)$ に対して, $F(g\circ f) = F(g)\circ F(f)$.

各 $X\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対して $I_{\mathcal{C}}(X)=X$ と定め, 各 $X$, $Y\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ について, 各 $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ に対して $I_{\mathcal{C}}(f)=f$ と定めると, 関手 $I_{\mathcal{C}}:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{C}$ が定まる. これを $\mathcal{C}$ の恒等関手という.

$\mathcal{C}$ から $\mathcal{C}'$ への反変関手 $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{C}'$ とは, 各 $X\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対して $F(X)\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C}')$ を対応させ, 各 $X$, $Y\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ について, 各 $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ に対して $F(f)\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(F(Y), F(X))$ を対応させる規則 $F$ で, 次の条件を満たすものをいう.

(i) 任意の $X\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対して, $F(\mathrm{id}_{X})=\mathrm{id}_{F(X)}$.

(ii) 各 $X$, $Y$, $Z\in\mathcal{C}$ について, 任意の $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$, $g\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, Z)$ に対して, $F(g\circ f) = F(f)\circ F(g)$.

反変関手との区別のために, 関手は共変関手と呼ばれることもある.

次回へつづく。

参考文献

  • 河田敬義: ホモロジー代数, 岩波書店, 1990.
  • 松村英之: 集合論入門, 朝倉書店, 1966.

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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