圏と関手(4)

圏と関手の定義。前回のつづき。

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自然変換

$\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$ を圏とする.

$F$, $G$ を $\mathcal{C}$ から $\mathcal{C}'$ への関手とする. $F$ から $G$ への自然変換 $\tau:F\rightarrow G$ とは, 各 $X\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対して $\tau_{X}\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(F(X), G(X))$ を対応させる規則 $\tau$ で, 次の条件を満たすものをいう:各 $X$, $Y\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ について, 任意の $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ に対して, $$ \tau_{Y}\circ F(f) = G(f)\circ\tau_{X} $$ が成り立つ.

$F$, $G$ を $\mathcal{C}$ から $\mathcal{C}'$ への反変関手とする. $F$ から $G$ への自然変換 $\tau:F\rightarrow G$ とは, 各 $X\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対して $\tau_{X}\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(F(X), G(X))$ を対応させる規則 $\tau$ で, 次の条件を満たすものをいう:各 $X$, $Y\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ について, 任意の $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ に対して, $$ \tau_{X}\circ F(f) = G(f)\circ\tau_{Y} $$ が成り立つ.

関手の自然変換 $\tau:F\rightarrow G$ が自然同型であるとは, すべての $X\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対して $\tau_{X}$ が同等射であるときにいう. 反変関手の自然同型も同様に定義される.

圏 $\mathcal{B}$, $\mathcal{C}$ に対して, $\mathcal{C}$ から $\mathcal{B}$ への関手を対象とし, 自然変換を射とする圏を $\mathcal{C}$ から $\mathcal{B}$ への関手の圏といい, $\mathcal{B}^{\mathcal{C}}$ で表す.

さて, 圏 $\mathcal{C}$ の各々の対象 $A\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対して, $\mathcal{C}$ から集合の圏 $\boldsymbol{Set}$ への関手 $F_{A}$ を次のように定める: 各 $X\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対して $F_{A}(X) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A, X)\in\mathrm{Ob}(\boldsymbol{Set})$ を対応させる. また, 各 $X$, $Y\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ について, 各 $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ に対して, $$ \bigl(F_{A}(f)\bigr)(g) = f\circ g\quad \bigl(g\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A, X)\bigr) $$ によって定まる $F_{A}(f)\in\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{Set}}(F_{A}(X), F_{A}(Y))$ を対応させる.

[米田の補題] $G$ を圏 $\mathcal{C}$ から集合の圏 $\boldsymbol{Set}$ への関手とする. このとき, 任意の $A\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対して, $$ \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{Set}^{\mathcal{C}}}(F_{A}, G) \longrightarrow G(A), \quad \tau \longmapsto\tau_{A}(\mathrm{id}_{A}) $$ は全単射である.

参考文献

  • 河田敬義: ホモロジー代数, 岩波書店, 1990.
  • 松村英之: 集合論入門, 朝倉書店, 1966.

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