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Lucas-Lehmerの判定法

Mersenne 数、Mersenne 素数、および Lucas-Lehmer の判定法。

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Lucas-Lehmer の判定法

$M_{p} = 2^{p} - 1$ ($p$: 素数) なる形の数を Mersenne 数 という. また, 素数であるような Mersenne 数のことを Mersenne 素数という.

$M_{p}$ が素数であるような $1000$ 未満の素数 $p$ は以下の通り: $$ 2,\,3,\,5,\,7,\,13,\,17,\,19,\,31,\,61,\,89,\,107,\,127,\,521,\,607. $$

Lucas-Lehmer の判定法は, Mersenne 数に対する素数判定法である.

[Lucas-Lehmer の判定法] $p$ を奇素数とし, 数列 $(x_{n})$ を $$ x_{1} = 4,\quad x_{n+1} = x_{n}^{2} - 2\;(n=1, 2, \ldots) $$ によって定める. このとき, $$ \mbox{$M_{p}$ は素数} \Longleftrightarrow M_{p}\mid x_{p-1} $$ が成り立つ.

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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