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arctan の微分と不定積分の計算

arctan の微分と不定積分の計算。

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arctan の微分

$y=\arctan x$ とおく. $\arctan$ は $\tan$ の逆関数であり, $x = \tan y$ であるから, \begin{align*} \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{\frac{d}{dy}\tan y} = \frac{1}{1+\tan^{2} y} = \frac{1}{1+x^{2}}. \end{align*}

arctan の不定積分

部分積分法によって計算すると, \begin{align*} \int\arctan x\,dx &= x\arctan x - \int\frac{x}{1+x^{2}}\,dx \\ &= x\arctan x - \frac{1}{2}\log(1+x^{2}) + C. \end{align*} ただし, $C$ は積分定数.

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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