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arcsin の微分と不定積分の計算

arcsin の微分と不定積分の計算。

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arcsin の微分

関数 $x = \sin y$ $(-\pi/2<y<\pi/2)$ は狭義単調増加かつ微分可能で, その導関数は $$ \frac{dx}{dy}=\cos y>0\quad (-\pi/2<y<\pi/2). $$ よって, 逆関数 $y=\arcsin x$ $(-1<x<1)$ は微分可能であり, \begin{align*} \frac{d}{dx}\arcsin x &= \frac{1}{\frac{d}{dy}\sin y} = \frac{1}{\cos y} \\ &= \frac{1}{\sqrt{\cos^{2}y}} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}y}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}. \end{align*}

arcsin の不定積分

部分積分法によって計算すると, \begin{align*} \int\arcsin x\,dx &= x\arcsin x - \int\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx \\ &= x\arcsin x + \sqrt{1-x^{2}} + C. \end{align*} ただし, $C$ は積分定数.

補足

$t=1-x^{2}$ とおくと, $dt=-2x\,dx$ であるから, 置換積分法により, \begin{align*} -\int\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx &= \frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{2}}\,dt \\ &= \sqrt{t}+C = \sqrt{1-x^{2}}+C. \end{align*} ただし, $C$ は積分定数.

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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