Keplerの方程式における解の存在と一意性

Kepler の方程式における解の存在と一意性について。

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$k$, $a$ を実定数とし, $0<k<1$ であるとする. このとき, $x$ についての方程式 $$ x = k\sin x + a $$ は Kepler の方程式と呼ばれる.

$f(x)=k\sin x+a$ とおく. $s=(x-y)/2$ とおけば, 加法定理および $\lvert \sin s\rvert \leq \lvert s\rvert$ より, \begin{align*} \lvert\sin x - \sin y\rvert &= \lvert\sin\bigl((y+s)+s\bigr) - \sin\bigl((y+s)-s\bigr)\rvert \\ &= \lvert2\cos(y+s)\sin s\rvert \leq \lvert x - y\rvert. \end{align*} ゆえに, $$ \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq k\lvert \sin x - \sin y \rvert \leq k\lvert x-y\rvert. $$ すなわち, $f(x)$ は縮小写像である. このとき, 任意の点 $x_{0}$ から出発して, $$ x_{n+1} = f(x_{n})\quad (n=0,1,2,\ldots) $$ によって数列 $(x_{n})$ を作ると, これは収束して, 極限値 $\displaystyle\alpha=\lim_{n\to\infty}x_{n}$ は方程式 $x=f(x)$ のただ一つの解になる.

参考文献

  • 占部実, 佐々木右左:理工科系一般教育 微分・積分教科書, 共立出版, 1965.

【theme : 数学
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