不定積分の計算メモ

不定積分の計算を自分のためにメモ。

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計算メモ (1)

部分積分法で計算すると, $$ \int 2x\log x\,dx = x^{2}\log x - \int x\,dx = x^{2}\log x - \frac{x^{2}}{2} + C. $$ ただし, $C$ は積分定数.

計算メモ (2)

$t=\log x$ とおくと, $dt=(1/x)\,dx$ であるから, 置換積分法により, $$ \int\frac{dx}{x\log x} = \int\frac{dt}{t} = \log\lvert t\rvert + C = \log\lvert\log x\rvert + C . $$ ただし, $C$ は積分定数.

計算メモ (3)

$t=e^{x}$ とおくと, $dt=e^{x}\,dx$ であるから, 置換積分法により, \begin{align*} \int\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}} &= \int\frac{e^{x}\,dx}{e^{2x}+1} = \int\frac{dt}{t^{2}+1} \\ &= \arctan t + C = \arctan e^{x} + C. \end{align*} ただし, $C$ は積分定数.

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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