行列式の問題

行列式の問題とその解答例を自分のためにメモ。

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問題

$f(x)$, $g(x)$, $h(x)$ が $3$ 次以下の実数係数多項式であるとき, 行列式 $$ F(x) = \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ f''(x) & g''(x) & h''(x) \end{vmatrix} $$ も $3$ 次以下の実数係数多項式であることを証明せよ.

解答例

一般に行列式は各成分についての多項式なので, $F(x)$ は実数係数多項式である.

仮定から, $f(x)$, $g(x)$, $h(x)$ の第 $4$ 階導関数は $0$ である. すなわち, $$ f^{(4)}(x) = g^{(4)}(x) = h^{(4)}(x) = 0. $$ このとき, \begin{align*} F'(x) &= \begin{vmatrix} f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ f''(x) & g''(x) & h''(x) \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ f''(x) & g''(x) & h''(x) \\ f''(x) & g''(x) & h''(x) \end{vmatrix} \\ &\qquad + \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ f'''(x) & g'''(x) & h'''(x) \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ f'''(x) & g'''(x) & h'''(x) \end{vmatrix}, \\ F''(x) &= \begin{vmatrix} f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ f'''(x) & g'''(x) & h'''(x) \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ f''(x) & g''(x) & h''(x) \\ f'''(x) & g'''(x) & h'''(x) \end{vmatrix} \\ &\qquad + \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ f^{(4)}(x) & g^{(4)}(x) & h^{(4)}(x) \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ f''(x) & g''(x) & h''(x) \\ f'''(x) & g'''(x) & h'''(x) \end{vmatrix}, \\ F'''(x) &= \begin{vmatrix} f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ f''(x) & g''(x) & h''(x) \\ f'''(x) & g'''(x) & h'''(x) \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ f'''(x) & g'''(x) & h'''(x) \\ f'''(x) & g'''(x) & h'''(x) \end{vmatrix} \\ &\qquad + \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ f''(x) & g''(x) & h''(x) \\ f^{(4)}(x) & g^{(4)}(x) & h^{(4)}(x) \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ f''(x) & g''(x) & h''(x) \\ f'''(x) & g'''(x) & h'''(x) \end{vmatrix}, \\ F^{(4)}(x) &= \begin{vmatrix} f''(x) & g''(x) & h''(x) \\ f''(x) & g''(x) & h''(x) \\ f'''(x) & g'''(x) & h'''(x) \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ f'''(x) & g'''(x) & h'''(x) \\ f'''(x) & g'''(x) & h'''(x) \end{vmatrix} \\ &\qquad + \begin{vmatrix} f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ f''(x) & g''(x) & h''(x) \\ f^{(4)}(x) & g^{(4)}(x) & h^{(4)}(x) \end{vmatrix} \\ &= 0. \end{align*} ゆえに, $F(x)$ の次数は $3$ 以下である.

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