不定積分の計算メモ

不定積分の計算を自分のためにメモ。

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計算メモ

$a\neq 0$, $b\neq 0$ とする. $t=e^{x}$ とおくと, $$ x = \log t,\quad dx = \frac{dt}{t},\quad \lvert t\rvert = \lvert e^{x}\rvert = e^{x} $$ であるから, 置換積分法により, \begin{align*} \int\frac{dx}{a+be^{x}} &= \int\frac{dt}{t(a+bt)} \\ &= \frac{1}{a}\int\left(\frac{1}{t}-\frac{b}{a+bt}\right)\,dt \\ &= \frac{1}{a}\left(\log \lvert t\rvert - \log\lvert{a+bt}\rvert\right) + C \\ &= \frac{1}{a}\left(\log e^{x} - \log\lvert{a+be^{x}}\rvert\right) + C \\ &= \frac{1}{a}\left(x - \log\lvert{a+be^{x}}\rvert\right) + C. \end{align*} ただし, $C$ は積分定数.

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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