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不定積分の計算メモ

不定積分の計算を自分のためにメモ。

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

計算メモ

$t=\tan(x/2)$ とおくと, $$ \sin x = \frac{2t}{1+t^{2}},\quad dx=\frac{2}{1+t^{2}}\,dt $$ であるから, 置換積分法により, \begin{align*} \int\frac{dx}{1+\sin x} &= \int\frac{2/(1+t^{2})}{1+2t/(1+t^{2})}\,dt \\ &= 2\int\frac{dt}{(1+t^2)+2t} \\ &= 2\int\frac{dt}{(1+t)^{2}} = -\frac{2}{1+t} + C \\ &= -\frac{2}{1+\tan(x/2)} + C. \end{align*} ただし, $C$ は積分定数.

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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