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ポリアの壷

確率に関する問題とその解答例。

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

問題 (ポリアの壷)

壷の中に $a$ 個の白球と $b$ 個の黒球が入っている. 壷の中から無作為に 1 個の球を取り出し, その色を確認する. 取り出した球と, それと同色の球 $d$ 個を加えて壷に入れ戻す. 2 回目以降も同じ操作を繰り返す. $n$ 回目の抽出において白球を取り出す確率を求めよ.

解答例

$n$ 回目に白球を取り出す確率を $p_{n}$ とする. $1$ 回目から $n-1$ 回目までに白球を取り出した回数を $t_{n}$ ($0\leq t_{n}\leq n-1$) とおくと, $$ p_{n} = \frac{a+t_{n}d}{a+b+(n-1)d}\quad (n=1,2,\ldots). $$

いま, $n$ を固定し, $n$ 回目に白球を取り出す事象を $A_{1}$, $n$ 回目に黒球を取り出す事象を $A_{2}$, $n+1$ 回目に白球を取り出す事象を $B$ とする. 事象 $A_{1}$, $A_{2}$ の確率をそれぞれ $P(A_{1})$, $P(A_{2})$ とすると, \begin{align*} P(A_{1}) &= p_{n} = \frac{a+t_{n}d}{a+b+(n-1)d}, \\ P(A_{2}) &= 1 - p_{n} = \frac{b+((n-1)-t_{n})d}{a+b+(n-1)d}. \end{align*} また, 事象 $A_{1}$, $A_{2}$ の下での事象 $B$ の条件付確率をそれぞれ $P(B\mid A_{1})$, $P(B\mid A_{2})$ とすると, \begin{align*} P(B\mid A_{1}) &= \frac{a+(t_{n}+1)d}{a+b+nd}, \\ P(B\mid A_{2}) &= \frac{a+t_{n}d}{a+b+nd}. \end{align*} このとき, 全確率の法則より, \begin{align*} p_{n+1} &= P(B) \\ &= P(A_{1})P(B\mid A_{1}) + P(A_{2})P(B\mid A_{2}) \\ &= \frac{a+t_{n}d}{a+b+(n-1)d}\,\frac{a+(t_{n}+1)d}{a+b+nd} \\ &\qquad+ \frac{b+((n-1)-t_{n})d}{a+b+(n-1)d}\,\frac{a+t_{n}d}{a+b+nd} \\ &= \frac{(a+t_{n}d)(a+b+nd)}{(a+b+(n-1)d)(a+b+nd)} \\ &= \frac{a+t_{n}d}{a+b+(n-1)d} = p_{n}. \end{align*} よって, 数学的帰納法により, 各 $n=1$, $2$, $\ldots$ に対して, $$ p_{n} = p_{1} = \frac{a}{a+b} $$ の成り立つことがいえる.

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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