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確率の問題

確率に関する問題とその解答例。

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

問題

壷の中に $a$ 個の白球と $b$ 個の黒球が入っている. 1 枚のコインを投げて, 投げるたびごとに表が出たら白球を $d$ 個, 裏が出たら黒球を $d$ 個壷の中に入れることにする. コインを $n$ 回投げた後に壷の中から球を 1 つ取り出すとき, それが白球である確率を求めよ.

解答例

コインを $n$ 回投げたとき $k$ ($0\leq k\leq n$) 回表が出る事象を $A_{k}$ とすると, その確率 $P(A_{k})$ は $$ P(A_{k}) = {}_{n}C_{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k} = {}_{n}C_{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}. $$ また, コインを $n$ 回投げた後に壷の中から球を 1 つ取り出すとそれが白球である事象を $B$ とする. 事象 $A_{k}$ ($0\leq k\leq n$) の下での事象 $B$ の条件付確率は, $$ P(B\mid A_{k}) = \frac{a+kd}{a+b+nd}\quad (0\leq k\leq n). $$ このとき, 求める確率 $P(B)$ は, 全確率の法則より, \begin{align*} P(B) &= \sum_{k=0}^{n}P(A_{k})P(B\mid A_{k}) \\ &= \sum_{k=0}^{n}{}_{n}C_{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\frac{a+kd}{a+b+nd} \\ &= \frac{1}{2^{n}(a+b+nd)}\left( a\sum_{k=0}^{n}{}_{n}C_{k}+d\sum_{k=0}^{n}k\,{}_{n}C_{k} \right) \\ &= \frac{2^{n}a+2^{n-1}nd}{2^{n}(a+b+nd)} = \frac{2a+nd}{2(a+b+nd)}. \end{align*}

補足

二項定理より, \begin{equation} (1+x)^{n} = \sum_{k=0}^{n}{}_{n}C_{k}x^{k}. \tag{1} \end{equation} $x=1$ を代入すると, $$ 2^{n} = \sum_{k=0}^{n}{}_{n}C_{k}. $$ また,等式 (1) において両辺を $x$ で微分すると, $$ n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n}k\,{}_{n}C_{k}x^{k-1}. $$ $x=1$ を代入すると, $$ n\cdot 2^{n-1} = \sum_{k=0}^{n}k\,{}_{n}C_{k}. $$

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