カイ二乗分布

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カイ二乗分布

$n$ を正の整数とする. 密度関数 $$ \rho(x) = \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}x^{n/2-1}\exp\left(-\frac{x}{2}\right), & \mbox{$x>0$ のとき} \\ 0, & \mbox{$x\leq 0$ のとき} \end{cases} $$ によって定まる確率分布を, 自由度 $n$ の $\chi^{2}$-分布という.

$(\Omega, \boldsymbol{B}, P)$ を確率空間とする. 標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う $\Omega$ 上定義された確率変数 $Z_{1}$, $Z_{2}$, $\ldots$, $Z_{n}$ が独立であるとき, 確率変数 $$ Y = Z_{1}^{2} + Z_{2}^{2} + \cdots + Z_{n}^{2} $$ は自由度 $n$ の $\chi^{2}$-分布に従う.

補足 (ガンマ関数)

広義積分によって定義される, 区間 $(0, \infty)$ 上の実数値関数 $$ \Gamma(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}\,dx $$ をガンマ関数という.

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