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エフ分布

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エフ分布

$m$, $n$ を正の整数とする. 密度関数 $$ \rho(x) = \frac{\Gamma((m+n)/2)}{\Gamma(m/2)\Gamma(n/2)}\left(\frac{m}{n}\right)^{m/2}x^{m/2-1}\left(1+\frac{m}{n}x\right)^{-(m+n)/2} $$ によって定まる確率分布を, 自由度 $(m, n)$ の $F$-分布という.

$(\Omega, \boldsymbol{B}, P)$ を確率空間, $X$, $Y$ を $\Omega$ 上定義された確率変数とし, $X$ は自由度 $m$ の $\chi^{2}$-分布に従い, $Y$ は自由度 $n$ の $\chi^{2}$-分布に従うものとする. $X$, $Y$ が独立ならば, 確率変数 $$ Z = \frac{X/m}{Y/n} $$ は自由度 $(m, n)$ の $F$-分布に従う.

補足 (ガンマ関数)

広義積分によって定義される, 区間 $(0, \infty)$ 上の実数値関数 $$ \Gamma(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}\,dx $$ をガンマ関数という.

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【theme : 数学
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