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級数に関する命題

級数に関する命題とその証明。

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

命題

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ を正項級数とし, $b_{n}\neq 0$ $(n=1,2,\ldots)$ であるとする. また, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}$ は収束するものとし, その極限値を $\alpha$ とする. このとき, $$ \mbox{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ が収束} \Longrightarrow \mbox{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ が収束} $$ が成り立つ. さらに, $\alpha\neq 0$ ならば, $$ \mbox{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ が収束} \Longrightarrow \mbox{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ が収束} $$ も成り立つ.

証明

まず, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ は正項級数だから, $a_{n}\geq 0$, $b_{n}\geq 0$ $(n=1,2,\ldots)$ である. $b_{n}\neq 0$ $(n=1,2,\ldots)$ であるから, $a_{n}/b_{n}$ $(n=1,2,\ldots)$ が定まり, すべて負でない値である. このとき, $\alpha\geq 0$ となる.

任意の実数 $\varepsilon>0$ に対して, ある番号 $N$ が存在して, 任意の番号 $n$ に対して, $$ n>N \Longrightarrow \left\lvert \frac{a_{n}}{b_{n}} - \alpha \right\rvert < \varepsilon. $$ すなわち, $$ n>N \Longrightarrow \alpha-\varepsilon < \frac{a_{n}}{b_{n}} < \alpha+\varepsilon. $$

$\varepsilon=1$ とすると, ある番号 $N_{1}$ が存在して, 任意の番号 $n$ に対して, $$ n>N_{1} \Longrightarrow \frac{a_{n}}{b_{n}} < \alpha + 1. $$ 不等式の両辺に $b_{n}$ ($>0$) を掛けると, $$ n>N_{1} \Longrightarrow a_{n} < (\alpha + 1) b_{n}. $$ よって, $$ \mbox{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ が収束} \Longrightarrow \mbox{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha + 1)b_{n}$ が収束} \Longrightarrow \mbox{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ が収束}. $$

さらに, $\alpha\neq 0$ のとき, $\alpha>0$ であるから, $\varepsilon=\alpha/2$ とすることができる. このとき, ある番号 $N_{2}$ が存在して, 任意の番号 $n$ に対して, $$ n>N_{2} \Longrightarrow \frac{\alpha}{2} < \frac{a_{n}}{b_{n}}. $$ 不等式の両辺に $b_{n}$ ($>0$) を掛けると, $$ n>N_{2} \Longrightarrow \frac{\alpha}{2}b_{n} < a_{n}. $$ よって, $$ \mbox{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ が収束} \Longrightarrow \mbox{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha}{2}b_{n}$ が収束} \Longrightarrow \mbox{$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ が収束}. $$

注意

上の命題において, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=0$ のとき, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ が収束しても $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ が収束するとは限らない. 実際, $a_{n}=1/n^{2}$, $b_{n}=1/n$ がそのような例となっている.

$c$ を実数, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_{n}}$ を正項級数とし, $$ a_{n}+c > 0\quad (n=1,\,2,\,\ldots) $$ であるとする. このとき, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_{n}}$ が収束すれば, $1/a_{n}\to 0$ ($n\to\infty$) であり, $$ \frac{1/(a_{n}+c)}{1/a_{n}} = \frac{a_{n}}{a_{n}+c} = \frac{1}{1+c(1/a_{n})} \to 1\quad (n\to\infty) $$ であるから, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_{n}+c}$ も収束する.

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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