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確率空間と確率変数の定義

確率空間と確率変数の定義。

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確率空間の定義

集合 $\Omega$ の部分集合からなる集合族 $\boldsymbol{B}$ が次の条件を満たすとき, 組 $(\Omega, \boldsymbol{B})$ を可測空間といい, $\boldsymbol{B}$ を $\Omega$ 上の加法族 (あるいは, $\sigma$ 加法的集合族, $\sigma$ 代数) という.

(1) $\Omega\in\boldsymbol{B}$.

(2) $A\in\boldsymbol{B}\Longrightarrow \Omega\setminus A\in\boldsymbol{B}$.

(3) 任意の集合系 $(A_{n}\in\boldsymbol{B}\mid n=1,2,\ldots)$ に対して, $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\in\boldsymbol{B}$.

$\boldsymbol{B}$ 上で定義された実数値関数 $P$ が次の条件を満たすとき, 組 $(\Omega, \boldsymbol{B}, P)$ を確率空間という.

(1) 任意の $A\in\boldsymbol{B}$ に対して, $0\leq P(A)\leq 1$.

(2) 任意の集合系 $(A_{n}\in\boldsymbol{B}\mid n=1,2,\ldots)$ に対して, 各 $A_{i}$ が互いに共通部分をもたなければ, $\displaystyle P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right) = \sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})$.

(3) $P(\Omega)=1$.

またこのとき, $\Omega$ を標本空間 (あるいは, 全事象), $\Omega$ の元を標本点 (あるいは, 根元事象) といい, $\boldsymbol{B}$ に属する $\Omega$ の部分集合を事象という. さらに, $P$ を $\Omega$ 上の確率 (あるいは, 確率測度) といい, $A\in\boldsymbol{B}$ の $P$ による像 $P(A)$ を事象 $A$ の確率という.

確率変数の定義

$(\Omega, \boldsymbol{B}, P)$ を確率空間, $\boldsymbol{B}^{(1)}$ を実数全体 $\mathbb{R}$ の Borel 集合族 (=$\mathbb{R}$ 上の加法族のうち $\mathbb{R}$ の開集合全体を含む最小のもの) とする. $\Omega$ 上定義された実数値関数 $X$ が確率変数であるとは, $$ X^{-1}(A) = \{\omega\in\Omega \mid X(\omega) \in A\}\in\boldsymbol{B}\quad (\forall A\in\boldsymbol{B}^{(1)}) $$ が成り立つときにいう.

$(\Omega, \boldsymbol{B}, P)$ における $n$ 個の確率変数 $X_{1}$, $X_{2}$, $\ldots$, $X_{n}$ が独立であるとは, 任意の $A_{1}$, $A_{2}$, $\ldots$, $A_{n}\in B^{(1)}$ に対して, \begin{align*} &P(\{ \omega\in\Omega \mid X_{i}(\omega)\in A_{i}\,(i=1,2,\ldots,n) \}) \\ &\qquad = \prod_{i=1}^{n}P(\{\omega\in\Omega \mid X_{i}(\omega)\in A_{i}\}) \end{align*} が成り立つときにいう.

記法についての注意として, 確率論においては $P(X=a)$ や $P(a\leq X\leq b)$ や $P(X\in A)$ のような記号が頻繁に登場するが, それらは $P(\{\omega\in\Omega \mid X(\omega)=a\})$ や $P(\{\omega\in\Omega \mid a\leq X(\omega)\leq b\})$ や $P(\{\omega\in\Omega \mid X(\omega)\in A\})$ の略記である.

参考文献

  • 日本数学会 (編):岩波数学辞典 第4版, 岩波書店, 2007
  • 稲垣宣生:数理統計学, 裳華房, 1990
  • 折原明夫:測度と積分, 裳華房, 1997
  • 小針あき宏:確率・統計入門, 岩波書店, 1973

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