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2次元の場合の確率分布の定義

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2 次元の場合の確率分布の定義

$\boldsymbol{B}^{(2)}$ を $2$ 次元の Borel 集合族 (=$\mathbb{R}^{2}$ 上の加法族のうち $\mathbb{R}^{2}$ の開集合全体を含む最小のもの) とする. $\boldsymbol{B}^{(2)}$ は $\mathbb{R}^{2}$ 上の加法族である.

組 $(\mathbb{R}^{2}, \boldsymbol{B}^{(2)}, P^{(2)})$ が確率空間であるとき, $\mathbb{R}^{2}$ 上の確率 $P^{(2)}$ のことを確率分布 (あるいは, 分布), より詳しくは連続確率分布 (あるいは, 連続分布) という.

$\mathbb{R}^{2}$ 上定義された Lebesgue 積分可能な実数値関数 $\rho(x, y)$ で以下の条件を満たすものを密度関数という.

(1) $\rho(x, y)\geq 0$ $\bigl(\forall (x, y)\in\mathbb{R}^{2}\bigr)$.

(2) $\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^{2}}\rho(x, y)\,dxdy=1$.

$\rho(x, y)$ が密度関数であるとき, 各 $A\in\boldsymbol{B}^{(2)}$ に対し $$ P^{(2)}(A) = \iint_{A}\rho(x, y)\,dxdy $$ とおくことにより, 確率分布 $P^{(2)}$ が定まる.

2 次元の確率変数の確率分布

$(\Omega, \boldsymbol{B}, P)$ を確率空間とし, $X$, $Y$ を $\Omega$ 上の確率変数とする. このとき, 組 $(X, Y)$ を $2$ 次元確率変数という.

$(X, Y)$ を $2$ 次元確率変数とし, $\boldsymbol{B}^{(2)}$ を $2$ 次元の Borel 集合族とする. 各 $A\in\boldsymbol{B}^{(2)}$ に対し $$ P^{(X,Y)}(A) = P(\{\omega\in\Omega \mid (X(\omega), Y(\omega))\in A\}) $$ とおくと, $(\mathbb{R}^{2}, \boldsymbol{B}^{(2)}, P^{(X,Y)})$ は確率空間になる. 特に, $P^{(X,Y)}$ は $\mathbb{R}^{2}$ 上の確率である. $P^{(X,Y)}$ を $(X, Y)$ の確率分布 (あるいは, $(X, Y)$ の確率法則) という. またこのとき, $(X, Y)$ は確率分布 $P^{(X,Y)}$ に従うという.

$(X, Y)$ を $2$ 次元確率変数とするとき, 各々の確率変数 $X$, $Y$ の確率分布 $P^{X}$, $P^{Y}$ を $P^{(X,Y)}$ の周辺分布という.

$2$ 次元確率変数 $(X, Y)$ に対して, $\mathbb{R}^{2}$ 上の実数値関数 $F(x, y)$ を, 各 $(x, y)\in\mathbb{R}^{2}$ に対し $$ F(x, y) = P(\{\omega\in\Omega \mid X(\omega)\leq x,\,Y(\omega)\leq y\}) $$ とおくことによって定める. $F(x, y)$ を $(X, Y)$ の分布関数という.

分布関数 $F(x, y)$ が全微分可能であるとき, その偏導関数 $$ f(x, y) = \frac{\partial^{2}}{\partial x\partial y}F(x, y) $$ を $(X, Y)$ の密度関数という. 実際に, $f(x, y)$ は先に述べた密度関数の条件を満たし, さらに, $$ \int_{-\infty}^{x}du\int_{-\infty}^{y}f(u, v)\,dv = F(x, y) $$ が成り立つ.

$f(x, y)$ を $(X, Y)$ の密度関数とし, $f_{1}(x)$, $f_{2}(y)$ をそれぞれ $X$, $Y$ の密度関数とする. このとき, $2$ つの確率変数 $X$, $Y$ が独立であるための必要十分条件は, $$ f(x, y) = f_{1}(x)f_{2}(y) $$ が成り立つことである.

参考文献

  • 日本数学会 (編):岩波数学辞典 第4版, 岩波書店, 2007
  • 稲垣宣生:数理統計学, 裳華房, 1990
  • 折原明夫:測度と積分, 裳華房, 1997
  • 小針あき宏:確率・統計入門, 岩波書店, 1973

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