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R における正規分布の利用例

フリーの統計解析ソフト R における正規分布の利用例。

例題 (1)

確率変数 X が、平均 30、標準偏差 4 の正規分布に従うとき、次の確率を求めよ。

(1) P(X≦27)

(2) P(X≧36)

(3) P(22≦X≦26)

例題 (1) の解答例

(1) 正規分布の下側確率は、pnorm コマンドで求めることができます。

> pnorm(27, 30, 4)
[1] 0.2266274

(2) 正規分布の上側確率を求めるには、pnorm コマンドに lower.tail=FALSE を指定します。

> pnorm(36, 30, 4, lower.tail=FALSE)
[1] 0.0668072

(3) P(22≦X≦26)=P(X≦26)-P(X≦22) を利用して計算します。

> pnorm(26, 30, 4)-pnorm(22, 30, 4)
[1] 0.1359051

例題 (2)

確率変数 X が、平均 10、標準偏差 5 の正規分布に従うとき、次の等式が成り立つように定数 a、b、c を定めよ。

(1) P(X≦a)=0.9938

(2) P(b≦X)=0.1586

(3) P(10≦X≦c)=0.4772

例題 (2) の解答例

(1) 下側分位点は、qnorm コマンドで求めることができます。

> qnorm(0.9938, 10, 5)
[1] 22.50276

ゆえに、a=22.50276。

(2) 上側分位点を求めるには、qnorm コマンドで lower.tail=FALSE を指定します。

> qnorm(0.1586, 10, 5, lower.tail=FALSE)
[1] 15.00114

ゆえに、b=15.00114。

(3) P(X≦10)+P(10≦X≦c)=P(X≦c) を利用して、下側分位点の計算に帰着させます。

> qnorm(pnorm(10, 10, 5) + 0.4772, 10, 5)
[1] 19.99539

ゆえに、c=19.99539。

例題 (3)

ある学校で 1000 人の生徒に数学のテストを行ったところ、その成績は、平均 48 点、標準偏差 15 点の正規分布になったという。

(1) 30 点以下の生徒は約何人いると考えられるか。

(2) 78 点以上の生徒は約何人いると考えられるか。

(3) 成績の良い方から 50 番目の生徒の点数は、約何点か。

例題 (3) の解答例

(1) 正規分布の下側確率は、pnorm コマンドで求めることができます。

> pnorm(30, 48, 15)
[1] 0.1150697
> 1000 * 0.1150697
[1] 115.0697

ゆえに、求める生徒の人数は、約 115 人。

(2) 正規分布の上側確率を求めるには、pnorm コマンドに lower.tail=FALSE を指定します。

> pnorm(78, 48, 15, lower.tail=FALSE)
[1] 0.02275013
> 1000 * 0.02275013
[1] 22.75013

ゆえに、求める生徒の人数は、約 23 人。

(3) 問題は、P(X≧a)=50/1000 を満たす定数 a を求めることに帰着します。

正規分布の上側分位点を求めるには、qnorm コマンドに lower.tail=FALSE を指定します。

> qnorm(50/1000, 48, 15, lower.tail=False)
[1] 72.6728

ゆえに、求める点数は、約 73 点。

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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