Chebyshevの不等式

確率論における Chebyshev (チェビシェフ) の不等式とその証明。

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Chebyshev の不等式

$X$ を確率空間 $(\Omega, \boldsymbol{B}, P)$ における確率変数, $E(X)$ を $X$ の平均, $V(X)$ を $X$ の分散とする. このとき, 任意の実数 $k>0$ に対して, 不等式 $$ P\left(\bigl\lvert X-E(X)\bigr\rvert\geq k\right) \leq\frac{V(X)}{k^{2}} $$ が成り立つ.

証明

$A=\left\{x\in\mathbb{R}\bigm|\bigl\lvert x-E(X)\bigr\rvert\geq k\right\}$ とおく. また, $P^{X}$ を $X$ の確率分布, $\rho(x)$ を $X$ の密度関数とする. このとき, \begin{align*} V(X) &= \int_{-\infty}^{\infty}(x-E(X))^{2}\rho(x)\,dx \\ &\geq \int_{A}(x-E(X))^{2}\rho(x)\,dx \\ &\geq \int_{A}k^{2}\rho(x)\,dx = k^{2}\int_{A}\rho(x)\,dx \\ &= k^{2}P^{X}(A). \end{align*} 一方, \begin{align*} P^{X}(A) &= P(\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\in A\}) \\ &= P\left(\left\{\omega\in\Omega\bigm|\bigl\lvert X(\omega)-E(X)\bigr\rvert\geq k\right\}\right) \\ &= P\left(\bigl\lvert X-E(X)\bigr\rvert\geq k\right). \end{align*} ゆえに, 求める不等式が成り立つ.

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