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共分散と相関係数

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2 変数の場合の平均

2 変数の密度関数 $\rho(x, y)$ が与えられているとする. $g(x, y)$ を $\mathbb{R}^{2}$ 上の実数値関数とするとき, $$ \iint_{\mathbb{R}^{2}}g(x, y)\rho(x, y)\,dxdy $$ を $g(x, y)$ の平均 (あるいは, 期待値) という.

$(X, Y)$ を確率空間 $(\Omega, \boldsymbol{B}, P)$ における 2 次元確率変数とする. また, $g(X, Y)$ を, 各 $\omega\in\Omega$ に対し $$ g(X, Y)(\omega) = g(X(\omega), Y(\omega)) $$ とおくことによって定まる確率変数とする. このとき, $g(X, Y)$ の平均とは, $(X, Y)$ の密度関数で定まる $g(x, y)$ の平均のことである. それを $E(g(X, Y))$ で表す.

共分散と相関係数

$X$, $Y$ を確率空間 $(\Omega, \boldsymbol{B}, P)$ における確率変数とする. $X$, $Y$ の平均をそれぞれ $E(X)$, $E(Y)$ とし, 分散をそれぞれ $V(X)$, $V(Y)$ とする.

$X$, $Y$ の共分散 $V(X, Y)$ を次のように定義する. $$ V(X, Y) = E((X-E(X))(Y-E(Y))). $$ 共分散について, 以下の等式が成り立つ. $$ V(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y). $$

$V(X)>0$, $V(Y)>0$ のとき, $X$, $Y$ の相関係数 $R(X, Y)$ を次のように定義する. $$ R(X, Y) = \frac{V(X, Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}. $$ $R(X, Y)>0$ のとき, $X$, $Y$ には正の相関があるという. $R(X, Y)<0$ とき, $X$, $Y$ には負の相関があるという. $R(X, Y)=0$ のとき, $X$, $Y$ は無相関であるという.

※ $X$ の平均 $E(X)$ について, 2 変数の密度関数で定まる $X$ の平均は, 1 変数の密度関数で定まる $X$ の平均に一致する. $V(X)=E((X-E(X))^{2})$ についても同様である.

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