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Dirichletの類数公式(虚2次体)を計算するMapleプログラムの例

虚 2 次体に関する Dirichlet の類数公式を Maple で計算する。

プログラム例

with(numtheory):  # issqrfree, jacobi

DirichletCNF := proc(m)
  local disc, w, h;

  # m が square-free でないときは除外
  if not issqrfree(m) then
    error("%1 is not square-free.", m);
  end if;

  # disc:2次体の判別式
  if modp(m, 4) = 1 then
    disc := m;
  elif modp(m, 4) = 2 or modp(m, 4) = 3 then
    disc := 4*m;
  else
    error("%1 is a multiple of 4.", m);
  end if;

  # w:単数の個数
  if m = -1 then
    w := 4;
  elif m = -3 then
    w := 6;
  else
    w := 2;
  end if;

  # Dirichletの類数公式
  h := -(w/(2*abs(disc))) * 
       sum(jacobi(disc, n)*n ,n=1..abs(disc)-1);

  return(h);
end proc:

実行例

> for m from 1 to 100 do
    if issqrfree(m) then
      printf("h(%a) = %a\n", -m, DirichletCNF(-m));
    end if
  end do

実行結果:

h(-1) = 1
h(-2) = 1
h(-3) = 1
h(-5) = 2
h(-6) = 2
h(-7) = 1
h(-10) = 2
h(-11) = 1
h(-13) = 2
h(-14) = 4
h(-15) = 2
h(-17) = 4
h(-19) = 1
h(-21) = 4
h(-22) = 2
h(-23) = 3
h(-26) = 6
h(-29) = 6
h(-30) = 4
h(-31) = 3
h(-33) = 4
h(-34) = 4
h(-35) = 2
h(-37) = 2
h(-38) = 6
h(-39) = 4
h(-41) = 8
h(-42) = 4
h(-43) = 1
h(-46) = 4
h(-47) = 5
h(-51) = 2
h(-53) = 6
h(-55) = 4
h(-57) = 4
h(-58) = 2
h(-59) = 3
h(-61) = 6
h(-62) = 8
h(-65) = 8
h(-66) = 8
h(-67) = 1
h(-69) = 8
h(-70) = 4
h(-71) = 7
h(-73) = 4
h(-74) = 10
h(-77) = 8
h(-78) = 4
h(-79) = 5
h(-82) = 4
h(-83) = 3
h(-85) = 4
h(-86) = 10
h(-87) = 6
h(-89) = 12
h(-91) = 2
h(-93) = 4
h(-94) = 8
h(-95) = 8
h(-97) = 4

参考文献

  • 山本芳彦:数論入門, 岩波書店, 2003.

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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よしいず

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