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方程式x^n-y^n=±1は非自明な整数解をもたない

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[定理] $n$ を $2$ 以上の整数とするとき, 方程式 \begin{equation} x^{n} - y^{n} = \pm 1 \tag{1} \end{equation} は非自明な整数解 (= $x$ も $y$ も $0$ でない整数解) をもたない.

[証明] 背理法により証明する. 方程式 (1) が非自明な整数解 $(x, y)$ をもつと仮定して矛盾を導く. まず, $$ (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1}) = x^{n} - y^{n} = \pm 1. $$ $x-y$ と $x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1}$ はともに整数であるから, \begin{equation} x-y = \pm 1,\quad x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1} = \pm 1. \tag{2} \end{equation}

$x>0$, $y>0$ の場合. $x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1}\geq 2$ となり, (2) に矛盾する.

$x<0$, $y<0$ の場合. $n$ が偶数ならば, $(x^{2})^{n/2} - (y^{2})^{n/2} = \pm 1$ となり, $x>0$, $y>0$ の場合に帰着する. $n$ が奇数ならば, $(-y)^{n} - (-x)^{n} = \pm 1$ となり, $x>0$, $y>0$ の場合に帰着する.

$x>0$, $y<0$ の場合. $x-y\geq 2$ となり, (2) に矛盾する.

$x<0$, $y>0$ の場合. $x-y\leq -2$ となり, (2) に矛盾する. (証明終)

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