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Catalan予想

2012 年 8 月 14 日更新。

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Catalan (カタラン) 予想とは, フランスの数学者 Eugène Charles Catalan が 1844 年に予想した, Diophantus 方程式に関する以下の命題のことである.

[Catalan 予想] $p$, $q$ を $2$ 以上の整数とする. このとき, Diophantus 方程式 $$ x^{p}-y^{q} = 1 $$ が正整数解 (= $x$, $y$ がともに正なる整数解) をもつのは $(p, q)=(2, 3)$ の場合しかなく, そのときの正整数解は $(x, y) = (3, 2)$ だけである.

※ 整数解や有理数解について考察する場合に, 多項式の方程式を Diophantus 方程式という.

$p_{1}$ を $p$ の素因子, $q_{1}$ を $q$ の素因子とすると, $$ x^{p}-y^{q} = (x^{p/p_{1}})^{p_{1}} - (y^{q/q_{1}})^{q_{1}} $$ であるから, Catalan 予想は $p$, $q$ が素数の場合に帰着する. また, $p=q$ の場合, 方程式 $x^{p}-y^{p} = 1$ が正整数解をもたないことは容易に証明できる. したがって, $p$, $q$ が異なる素数の場合が本質的である.

$q=2$ の場合は, 1850 年に V. A. Lebesgue が証明した. $p=2$ の場合については, $q=3$ の場合は 1738 年に Euler が, $q\geq 5$ の場合は 1967 年に Chao Ko が証明した. $p=3$ の場合と $q=3$ の場合は, 1921 年に T. Nagell が証明した.

1960 年に J. W. S. Cassels は, $p$, $q$ が素数のとき, $p$ は $y$ を割り, $q$ は $x$ を割ることを証明した.

一般の場合は, ルーマニア出身の数学者 Preda Mihăilescu が 2002 年 (=preprint 公表時. 論文の出版は 2004 年) に証明した. 当該論文のタイトルは以下のとおり.

P. Mihăilescu: Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture, J. reine. angew. Math. 572 (2004), 167-195.

※ 「J. reine. angew. Math」は、数学の論文雑誌「Journal für die reine und angewandte Mathematik」の略称. この雑誌は「Crelle's Journal」とも呼ばれている.

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