連続する二つの整数は互いに素である

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[定理 1] 連続する二つの整数は互いに素である.

[証明] $b$ を整数とし, $g=\gcd(b, b+1)$ $(>0)$ とする. $b+1=gu$, $b=gv$ とおくと, $$ 1 = (b+1) - b = gu - gv = g(u-v). $$ ゆえに, $g=1$. (証明終)

定理 1 は, 以下の基本的な定理の特別な場合といえる.

[定理 2] $a$, $b$ を整数とする. このとき, $a$, $b$ の公約数はすべて $a+b$, $a-b$ の約数である.

[証明] $d$ を $a$, $b$ の公約数とする. $a=du$, $b=dv$ とおくと, \begin{align*} a+b &= du + dv = d(u+v), \\ a-b &= du - dv = d(u-v). \end{align*} ゆえに, $d$ は $a+b$, $a-b$ の約数である. (証明終)

定理 2 において $a=b+1$, $d=\gcd(a, b)$ $(>0)$ とすれば, $d$ は $a-b=1$ の正の約数なので, $d=1$. よって, 定理 1 が得られる.

ところで, Euclid の互除法の原理 (すなわち, $a$ を $b$ で割った余りを $r$ とするとき $\gcd(a, b)=\gcd(b, r)$ が成り立つこと) を既知とするならば, 定理 1 はほとんど自明である. 実際, $\gcd(x+1, x) = \gcd(x, 1) = 1$ である.

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