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二つずつ互いに素な正整数の積がn乗数ならば各因子もn乗数

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[定理] $2$ つずつ互いに素な正の整数の積が $n$ 乗数ならば各因子も $n$ 乗数である.

[証明] 整数 $x$ の $p$ 指数を $\mathrm{ord}_{p}(x)$ で表すことにする. 整数 $x$ に対しては常に $\mathrm{ord}_{p}(x)\geq 0$ である.

$a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{r}$ を整数とし, それらの積 $a_{1}a_{2}\cdots a_{r}$ が $n$ 乗数であるとする. このとき, すべての素数 $p$ に対して, \begin{equation} \mathrm{ord}_{p}(a_{1}a_{2}\cdots a_{r}) \equiv 0\pmod{n}. \tag{1} \end{equation} 一方, $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{r}$ は $2$ つずつ互いに素だから, ある番号 $k$ が存在して, \begin{align} \mathrm{ord}_{p}(a_{k}) &= \mathrm{ord}_{p}(a_{1}a_{2}\cdots a_{r}), \tag{2} \\ \mathrm{ord}_{p}(a_{j}) &= 0\quad (j\neq k). \tag{3} \end{align} なぜなら, $p$ が $a_{1}a_{2}\cdots a_{r}$ の素因子でない場合には, $\mathrm{ord}_{p}(a_{1}a_{2}\cdots a_{r})=0$ であるから, (2) と整数の $p$ 指数が常に正であることより, $\mathrm{ord}_{p}(a_{i})=0$ ($i=1$, $2$, $\ldots$, $r$) である. $p$ が $a_{1}a_{2}\cdots a_{r}$ の素因子である場合には, ある番号 $k$ が存在して, $p$ は $a_{k}$ を割る. ところが, $k$ と異なるすべての番号 $j$ に対して, $\gcd(a_{j}, a_{k})=1$ であるから, $p$ は $a_{j}$ を割らない. よって, $\mathrm{ord}_{p}(a_{j})=0$. すなわち, (3) が成り立つ. さらに, $$ \mathrm{ord}_{p}(a_{1}a_{2}\cdots a_{r}) = \sum_{i=1}^{r}\mathrm{ord}_{p}(a_{i}) = \mathrm{ord}_{p}(a_{k}). $$ すなわち, (2) が成り立つ.

したがって, $i=1$, $2$, $\ldots$, $r$ について, すべての素数 $p$ に対して, (1), (2), (3) より, $$ \mathrm{ord}_{p}(a_{i}) \equiv 0\pmod{n}. $$ すなわち, 各々の $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{r}$ も $n$ 乗数である. (証明終)

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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