連続する二つの正整数の積はn乗数でない

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[定理] 任意の整数 $n\geq 2$ に対して, $2$ つの連続する正の整数の積は $n$ 乗数でない.

[証明] $n$ を $2$ 以上の整数とする. 2 つの連続する正の整数を $a$, $a+1$ とおく.

$a(a+1)$ が $n$ 乗数であると仮定する. $\gcd(a, a+1)=1$ であるから, 各々の因子 $a$, $a+1$ も $n$ 乗数である. すなわち, ある正の整数 $b$, $c$ が存在して, $$ a = b^{n},\quad a+1 = c^{n}. $$ $a$ を消去すると, $$ b^{n} + 1 = c^{n}. $$ ところが, 方程式 $x^{n} - y^{n} = -1$ は自明でない整数解をもたない. これは矛盾である. ゆえに, $a(a+1)$ は $n$ 乗数ではない. (証明終)

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