連続する4つの正整数の積はn乗数でない

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[定理] 任意の整数 $n\geq 2$ に対して, $4$ つの連続する正の整数の積は $n$ 乗数でない.

[証明] $n$ を $2$ 以上の整数とする. $4$ つの連続する正の整数を $a$, $a+1$, $a+2$, $a+3$ とおく.

$a(a+1)(a+2)(a+3)$ が $n$ 乗数であると仮定する. そのとき, ある正の整数 $b$ が存在して, $$ a(a+1)(a+2)(a+3) = b^{n}. $$ さて, 恒等式 $$ a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 = (a^{2}+3a+1)^{2} $$ が成り立つ. $c=a^{2}+3a+1$ とおくと, $$ b^{n} + 1 = c^{2},\quad c\geq 5. $$ ところが, 方程式 $x^{2} - y^{n} = 1$ は $n=3$ のときを除いて正整数解をもたない. また, $n=3$ のとき, $(x, y)=(3, 2)$ が唯一の正整数解である. いずれにせよ矛盾である. ゆえに, $a(a+1)(a+2)(a+3)$ は $n$ 乗数でない. (証明終)

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