方程式x^3-y^2=1は非自明な整数解をもたない

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$K=\mathbb{Q}(i)$, $O_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{i}]$ とおく. ただし, $i=\sqrt{-1}$ は虚数単位とする. $O_{K}$ は $K$ の整数環である. $O_{K}$ は素元分解整域であることが知られている. $\alpha\in K^{\times}$ に対し, $N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)$ を $K/\mathbb{Q}$ に関するノルムとする.

[補題] $a$ を偶数とする. このとき, $O_{K}$ において $a+i$, $a-i$ は互いに素である.

[証明] $\delta$ を $a+i$, $a-i$ の公約数とする. $\delta$ が $K$ の単数であることをいえばよい.

$O_{K}$ において $\delta$ は $a+i$ を割るから, $\mathbb{Z}$ において $N_{K/\mathbb{Q}}(\delta)$ は $N_{K/\mathbb{Q}}(a+i)=a^{2}+1$ を割る. $a$ は偶数であると仮定しているから, $N_{K/\mathbb{Q}}(a+i)$ は奇数である. よって, $N_{K/\mathbb{Q}}(\delta)$ も奇数である.

一方, $O_{K}$ において $\delta$ は $(a+i)-(a-i) = 2i$ を割るから, $\mathbb{Z}$ において $N_{K/\mathbb{Q}}(\delta)$ は $N_{K/\mathbb{Q}}(2i)=4$ を割る. ところが, $N_{K/\mathbb{Q}}(\delta)$ は奇数であったから, $N_{K/\mathbb{Q}}(\delta)=1$ でなければならない. したがって, $\delta$ は $K$ の単数である. (証明終)

[定理] 方程式 $x^{3} - y^{2} = 1$ の整数解は $(x, y)=(1, 0)$ のみである.

[証明] $(x, y)$ を方程式 $x^{3} - y^{2} = 1$ の整数解とする.

もし仮に $y$ が奇数だとすると, $$ x^{3} = y^{2} + 1 \equiv 2\pmod{4}. $$ これより, $x$ は偶数だから, $x^{3}\equiv 0\pmod{4}$. これは矛盾である. ゆえに, $y$ は偶数である. 補題より, $O_{K}$ において $y+i$, $y-i$ は互いに素である. また, $O_{K}$ において, $$ x^{3} = y^{2} + 1 = (y + i)(y - i) $$ と分解する. $O_{K}$ は素元分解整域だから, $y+i$, $y-i$ はそれぞれ $3$ 乗数の単数倍である. $K$ の単数は $\pm 1$, $\pm i$ がすべてであり, それらは $3$ 乗数である. 実際, $$ \pm 1 = (\pm 1)^{3},\quad \pm i = (\mp i)^{3}. \quad (\mbox{複号同順}) $$ ゆえに, $y+i$, $y-i$ はそれぞれ $3$ 乗数である. したがって, ある $a$, $b\in\mathbb{Z}$ が存在して, $$ y+i = (a+bi)^{3} $$ と表せる. 右辺を展開して実部と虚部をそれぞれ比較すると, \begin{align*} y &= a^{3} - 3ab^{2} = a(a^{2}-3b^{2}), \tag{1} \\ 1 &= 3a^{2}b - b^{3} = b(3a^{2}-b^{2}). \tag{2} \end{align*} (2) の後半より $b=\pm 1$. (2) の前半より $$ 1 = 3a^{2}b - b^{3} \equiv -b^{3}\pmod{3}. $$ もし仮に $b=1$ であるとすると $1\equiv -1\pmod{3}$ となり矛盾が生じるから, $b=-1$ である. このとき, (2) の前半は $$ 1 = -3a^{2} + 1. $$ これより $a=0$ を得る. (1) の後半より $y=0$. よって, $$ x^{3} = y^{2} + 1 = 1. $$ これより $x=1$ を得る. (証明終)

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