方程式x^n-y^n=±2の整数解について

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

[定理] $n\geq 2$ を整数とする. このとき, 方程式 \begin{equation} x^{n}-y^{n}= 2 \tag{1} \end{equation} は, $n$ が奇数のときだけ整数解をもつ. さらに, $n$ が奇数のとき, この方程式の整数解は $(x, y)=(1, -1)$ のみである.

[証明] $(x, y)$ を方程式 (1) の整数解とする.

$2$ は素数なので, 任意の整数 $n\geq 2$ に対して, $\pm 2$ は $n$ 乗数ではない. よって, $x\neq 0$ かつ $y\neq 0$ である. また, (1) より, $x$, $y$ の偶奇は一致する.

$n=2$ のとき, \begin{equation} 2 = x^{2} - y^{2} = (x-y)(x+y). \tag{2} \end{equation} $x$, $y$ の偶奇が一致するので, $x-y$, $x+y$ は両方とも偶数である. すると, $(x-y)(x+y)$ は $4$ の倍数になり, (2) に矛盾する.

$n$ が偶数かつ $n>2$ のとき, $(x^{n/2})^2-(y^{n/2})^2=2$ であるから, $n=2$ のときに帰着する.

以下, $n\geq 3$ かつ $n$ が奇数のときを考える.

$x>0$, $y>0$ の場合. \begin{align*} 2 &= x^{n}-y^{n} = (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1}), \\ n &\leq x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1} \end{align*} となるが, これは不可能である.

$x<0$, $y<0$ の場合. $(-y)^{n} - (-x)^{n} = 2$ となり, $x>0$, $y>0$ の場合に帰着する.

$x<0$, $y>0$ の場合. $2 = x^{n}-y^{n}<0$ となり矛盾が生じる.

$x>0$, $y<0$ の場合. $(x, y)=(1, -1)$ は方程式 (1) の解である. もし $x>1$ または $y<-1$ ならば, $2=x^{n}-y^{n}>2$ となり矛盾が生じる. (証明終)

[定理] $n\geq 2$ を整数とする. このとき, 方程式 $$ x^{n}-y^{n}= -2 $$ は, $n$ が奇数のときだけ整数解をもつ. さらに, $n$ が奇数のとき, この方程式の整数解は $(x, y)=(-1, 1)$ のみである.

[証明] 方程式 $x^{n}-y^{n}= 2$ の整数解全体 $\Omega$ と方程式 $x^{n}-y^{n}= -2$ の整数解全体 $\Omega'$ とは, 写像 $$ \Omega\longrightarrow\Omega',\quad (x, y)\longmapsto (y, x) $$ によって $1$ 対 $1$ に対応する. 前定理より $\Omega=\{(1,-1)\}$ であるから, $\Omega'=\{(-1,1)\}$ となる.

関連記事

方程式x^n-y^n=±1は非自明な整数解をもたない

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

プロフィール

よしいず

Author:よしいず
MATHEMATICS.PDFというウェブサイトを運営しています。

管理の都合上、トラックバックとコメントはオフにしてあります。ブログ経験者なら分かっていただけると思いますが、スパム(アダルトやその他の宣伝)ばかりなのが現実です。

リンクは自由です。当サイトの記事に対する間違いの指摘・意見・感想などを述べた記事からのリンクは歓迎です。ただし、ブログ記事アップ直後はミスが多く、頻繁に修正します。場合によっては削除する可能性もあります。その際、何も断りもなく修正・削除しますがご了承ください。内容を参考にする場合には投稿後一週間ほど様子を見てからにしてください(笑)。

記事の間違いを指摘するときは、その具体的箇所、理由(仕様に反するなど)・根拠(参考にした文献など)、代替案(同じ結果を得るための正しいやり方)も教えてください。そうしないと、(指摘される側および第三者はその時点では無知の状態なので、)どこが間違いなのか分かりませんし、本当に間違っているのかどうかが判断・検証できません。実際、間違いだと指摘されたことが結局は正しかったというケースもありますので。

このブログのタイトル一覧

リンク
月別アーカイブ
カテゴリ
最新記事
検索フォーム
RSSリンクの表示