原始的ピタゴラス数のパラメータ表示 (2)

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正の整数の組 $(a, b, c)$ がピタゴラス数であるとは, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ が成り立つときにいう. さらに, $\gcd(a, b, c)=1$ を満たすとき, $(a, b, c)$ を原始的ピタゴラス数という.

[定理] 任意の原始的ピタゴラス数 $(a, b, c)$ に対して, ある正の整数 $m$, $n$ が存在して, \begin{equation} a = m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2} \tag{1} \end{equation} または \begin{equation} a = 2mn,\quad b=m^{2}-n^{2},\quad c=m^{2}+n^{2} \tag{2} \end{equation} と表すことができ, さらに $$ n<m,\quad \gcd(m, n)=1,\quad m\not\equiv n\;(\mathrm{mod}\;2) $$ が成り立つ.

[証明] $a$, $b$ は片方が偶数, もう片方が奇数であり, $c$ は奇数である. 以下, $a$ が奇数, $b$ が偶数の場合に (1) と表せることを証明する. $a$ が偶数, $b$ が奇数の場合に (2) と表されることも同じように証明できる.

$u = (c+a)/2$, $v=(c-a)/2$ とおく. $a$, $c$ はともに奇数だから, $u$, $v$ は整数である. また, $a^2 < a^{2}+b^{2} = c^{2}$ より $a<c$. よって, $0<v<u$ である. さらに, \begin{equation} c = u + v,\quad a = u - v. \tag{3} \end{equation} このとき, $$ b^{2} = c^{2} - a^{2} = (u+v)^{2} - (u-v)^{2} = 4uv. $$ よって, $uv$ は平方数である. もし仮に $\gcd(u, v)>1$ とすると, $u$, $v$ の共通の素因子が存在し, (3) より $a$, $c$ の公約数になるが, それは $\gcd(a, c)=1$ に反する. ゆえに, $\gcd(u, v)=1$. したがって, $u$, $v$ の各々が平方数である. $0<v<u$ であったから, ある正の整数 $m$, $n$ が存在して, $$ u = m^{2},\quad v = n^{2},\quad n<m. $$ このとき, \begin{align*} c &= u + v = m^{2}+n^{2}, \\ a &= u - v = m^{2}-n^{2}, \\ b &= \sqrt{c^{2}-a^{2}} = \sqrt{4uv} = 2mn. \end{align*} もし仮に $\gcd(m, n)>1$ とすると, $m$, $n$ の共通の素因子が存在し, 上式より $a$, $b$, $c$ の公約数になるが, それは $\gcd(a, b, c)=1$ に反する. ゆえに, $\gcd(m, n)=1$. 特に, $m$, $n$ の片方は偶数でない. さらに, $m$, $n$ の両方が奇数だとすると, $m^{2}+n^{2}$ は偶数になり, $c$ が奇数であることに反する. したがって, $m$, $n$ は片方が偶数, もう片方が奇数である. すなわち, $m\not\equiv n\pmod{2}$ である. (証明終)

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