連続するn個の正整数の積はn乗数でない

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[定理] 任意の整数 $n\geq 2$ に対して, $n$ 個の連続する正の整数の積は $n$ 乗数でない.

[証明] 正の整数 $a$ を任意にとり, $r(a, n) = a(a+1)\cdots(a+n-1)$ とおく.

$a=1$ かつ $n=2$ のとき, $r(a, n)=2$ は $n$ 乗数でない. また, $a=1$ かつ $n\geq 3$ のとき, $r(1, n) = r(2, n-1)$ であるから, 議論は $a>1$ のときに帰着する. 以下, $a>1$ であるとする.

さて, \begin{alignat*}{2} &a < a+j\quad &&(j=1,\,\ldots,\,n-1), \\ &a+j < a+n-1\quad &&(j=0,\,\ldots,\,n-2) \end{alignat*} より, $$ a^{n} < r(a, n) < (a+n-1)^{n}. $$ $n$ 乗数の列 $(k^{n}\mid k=1,2,\ldots)$ が単調増加であることに注意すると, $n = 2$ のとき, $r(a, n)$ は平方数になりえない. $n\geq 3$ のとき, もし仮に $r(a, n)$ が $n$ 乗数だったとすると, $r(a, n)$ は $(a+1)^{n}$, $\ldots$, $(a+n-2)^{n}$ のどれかに一致するはずである. すなわち, ある整数 $s$ が存在して, $$ r(a, n) = (a+s)^{n},\quad 1\leq s\leq m-2. $$ 両辺を $a+s$ で割ると, $$ \frac{r(a, n)}{a+s} = (a+s)^{n-1}. $$ 上式の左辺は整数であり, $a+s-1$ を約数としてもつ. $a>1$ としているから, $a+s-1>1$ となり, $a+s-1$ は素因子 $p$ をもつ. 上式より, $p$ は $(a+s)^{n-1}$ を割る. $p$ は素数なので, $a+s$ を割る. よって, $p$ は $a+s-1$ と $a+s$ の公約数である. これは連続する二つの整数が互いに素であることに矛盾する. したがって, $r(a, n)$ は $n$ 乗数ではない. (証明終)

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