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方程式x^3-2y^3=±1の整数解について (1)

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[補題] $m$ を正の整数とする. このとき, $$ \sum_{k=0}^{\lfloor m/3 \rfloor}\binom{m}{3k}\not\equiv 0\pmod{3} $$ が成り立つ.

[証明] $i=0$, $1$, $2$ に対し, $$ S_{i} = \sum_{k=0}^{\lfloor (m-i)/3 \rfloor}\binom{m}{3k+i} $$ とおく. すると, $$ 2^{m} = (1+1)^{m} = \sum_{j=0}^{m}\binom{m}{j} = S_{0} + S_{1} + S_{2}. $$ また, \begin{align*} S_{1} &= \sum_{k=0}^{\lfloor (m-1)/3 \rfloor}\binom{m}{3k+1} = \sum_{k=0}^{\lfloor m/3 \rfloor}\binom{m}{3k}\frac{m-3k}{3k+1} \\ &\equiv mS_{0}\pmod{3}, \\ S_{0} &= \sum_{k=0}^{\lfloor (m-2)/3 \rfloor}\binom{m}{3k+2} = \sum_{k=0}^{\lfloor (m-1)/3 \rfloor}\binom{m}{3k+1}\frac{m-3k-1}{3k+2} \\ &\equiv -(m-1)S_{1}\equiv -m(m-1)S_{0} \pmod{3}. \end{align*} ゆえに, $$ 0\not\equiv 2^{m} \equiv (1+2m-m^{2})S_{0}\pmod{3}. $$ さらに, $1+2m-m^{2}\not\equiv 0\pmod{3}$. 実際, $$ 1+2m-m^{2} \equiv \begin{cases} 1, & \mbox{$m\equiv 0$ または $2\;(\mathrm{mod}\;3)$ のとき}, \\ 2, & \mbox{$m\equiv 1\;(\mathrm{mod}\;3)$ のとき}. \\ \end{cases} $$ したがって, $S_{0}\not\equiv 0\pmod{3}$. (証明終)

[定理] $n$ を $2$ 以上の整数とする. このとき, 方程式 \begin{equation} x^{3} - 2y^{3} = \pm 1 \tag{1} \end{equation} の整数解は $$ (x, y) = (1, 0),\,(-1, 0),\,(1, 1),\,(-1, -1) $$ のみである.

定理の証明は次回の記事にて.

参考文献

  • Paulo Ribenboim: Catalan's Conjecture: Are 8 and 9 the Only Consecutive Powers?, Academic Press, 1994.

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