方程式x^2-y^3=1の整数解について

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[定理] 方程式 \begin{equation} x^{2} - y^{3} = 1 \tag{1} \end{equation} のすべての整数解は, $$ (x, y) = (0, -1),\,(\pm 1, 0),\,(\pm 3, 2). $$

[証明] (Case 1) $x$ が偶数のとき. $x-1$ は奇数であり, $\gcd(x-1, x+1) = \gcd(x-1, 2) = 1$. また, $\mathbb{Z}$ において $$ y^{3} = x^{2} - 1 = (x-1)(x+1) $$ と分解する. よって, $x-1$, $x+1$ はそれぞれ $3$ 乗数の $\pm 1$ 倍である. ところが, $-1=(-1)^{3}$ より, $-1$ は $3$ 乗数である. ゆえに, $x-1$, $x+1$ はそれぞれ $3$ 乗数である. このとき, ある整数 $a$, $b$ が存在して, $$ x-1 = a^{3},\quad x+1 = b^{3}. $$ $x$ を消去すると, $$ a^{3} - b^{3} = -2. $$ これを満たすのは $(a, b) = (-1, 1)$ のときのみである. また, $(a, b)=(-1, 1)$ のとき, $(x, y)=(0, -1)$ となる.

(Case 2) $x$ が奇数のとき. $x-1$ は偶数であり, $\gcd(x-1, x+1)=\gcd(x-1, 2) = 2$. 特に, $x-1$, $x+1$ が同時に $4$ の倍数になることはない. また, (1) より $y$ は偶数である.

$x-1\equiv 2\pmod{4}$ の場合. $x+1\equiv 0\pmod{4}$ かつ $\gcd\bigl((x-1)/2, (x+1)/4\bigr)=1$ となる. また, $\mathbb{Z}$ において $$ \left(\frac{y}{2}\right)^{3} = \frac{x-1}{2}\cdot\frac{x+1}{4} $$ と分解する. (Case 1) のときと同様の議論により, $(x-1)/2$, $(x+1)/4$ はそれぞれ $3$ 乗数である. このとき, ある整数 $a$, $b$ が存在して, $$ \frac{x-1}{2} = a^{3},\quad \frac{x+1}{4} = b^{3}. $$ $x$ を消去すると, $$ a^{3} - 2b^{3} = -1. $$ これを満たすのは $(a, b) = (-1, 0)$, $(1, 1)$ のときのみである. また, $(a, b)=(-1, 0)$ のとき $(x, y)=(-1, 0)$ となり, $(a, b)=(1, 1)$ のとき $(x, y)=(3, 2)$ となる.

$x+1\equiv 2\pmod{4}$ の場合. $x-1\equiv 0\pmod{4}$ かつ $\gcd\bigl((x-1)/4, (x+1)/2\bigr)=1$ となる. また, $\mathbb{Z}$ において $$ \left(\frac{y}{2}\right)^{3} = \frac{x-1}{4}\cdot\frac{x+1}{2} $$ と分解する. (Case 1) のときと同様の議論により, $(x-1)/4$, $(x+1)/2$ はそれぞれ $3$ 乗数である. このとき, ある整数 $a$, $b$ が存在して, $$ \frac{x+1}{2} = a^{3},\quad \frac{x-1}{4} = b^{3}. $$ $x$ を消去すると, $$ a^{3} - 2b^{3} = 1. $$ これを満たすのは $(a, b) = (1, 0)$, $(-1, -1)$ のときのみである. また, $(a, b)=(1, 0)$ のとき $(x, y)=(1, 0)$ となり, $(a, b)=(-1, -1)$ のとき $(x, y)=(-3, -2)$ となる.

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