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方程式x^3-y^2=3は整数解をもたない

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

[定理] 方程式 $x^{3} - y^{2} = 3$ は整数解をもたない.

[証明] 背理法により証明する. 方程式 $x^{3} - y^{2} = 3$ が整数解 $(x, y)$ をもつと仮定する.

もし仮に $x$ が偶数だとすると, $$ y^{2} = x^{3} - 3\equiv 5\pmod{8} $$ であるが, $y$ が偶数ならば $y^{2}\equiv 0$, $4\pmod{8}$ であり, $y$ が奇数ならば $y^{2}\equiv 1\pmod{8}$ であるから, これは不可能である. ゆえに, $x$ は奇数でなければならない. また ,もし仮に $x\equiv 1\pmod{4}$ であるとすると, $x\equiv 1$ または $5\pmod{8}$ であり, $$ y^{2} = x^{3} - 3\equiv \begin{cases} 6\:(\mathrm{mod}\;8), & \mbox{$x\equiv 1\:(\mathrm{mod}\;8)$ のとき}, \\ 2\:(\mathrm{mod}\;8), & \mbox{$x\equiv 5\:(\mathrm{mod}\;8)$ のとき} \\ \end{cases} $$ となるが, どちらも不可能である. ゆえに, $x\equiv 3\pmod{4}$. このとき, \begin{equation} y^{2} + 4 = x^{3} + 1 = (x+1)(x^{2}-x+1) \tag{1} \end{equation} と式変形すると, \begin{align*} & x^{2} - x + 1 = \left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} > 0, \\ & x^{2} - x + 1 \equiv 3^{2} - 3 + 1 = 7 \equiv 3 \pmod{4} \end{align*} であるから, $x^{2}-x+1$ の素因子 $p$ で $p\equiv 3\pmod{4}$ を満たすものが存在する. なぜなら, 正の整数の素因数分解を考えたとき, もし全ての素因子が $4$ を法として $1$ と合同ならば, それらの積は再び $4$ を法として $1$ と合同になり, もとの整数は $4$ を法として $3$ と合同にはならないからである. (1) より, $p$ は $y^{2}+4$ を割る. すなわち, $y^{2}\equiv -4 \pmod{p}$. また, $\gcd(2, p)=1$ より, 整数 $z$ で $2z\equiv 1\pmod{p}$ を満たすものが存在する. ゆえに, $(yz)^{2}\equiv -1\pmod{p}$. よって, $-1$ は $p$ を法とする平方剰余である. 平方剰余の相互法則 (第一補充法則) によれば, $p\equiv 1\pmod{4}$ でなければならないが, これは $p\equiv 3\pmod{4}$ であることに矛盾する. (証明終)

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