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方程式x^3-y^2=2の整数解について

※ MathJax を使用しています。数式を表示するためには、JavaScript をオンにする必要があります。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$, $O_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ とおく. $O_{K}$ は $K$ の整数環である. $O_{K}$ は素元分解整域であることが知られている. $\alpha\in K^{\times}$ に対し, $N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)$ を $K/\mathbb{Q}$ に関するノルムとする.

[補題] $a$ を奇数とする. このとき, $O_{K}$ において $a+\sqrt{-2}$, $a-\sqrt{-2}$ は互いに素である.

[証明] $\delta$ を $a+\sqrt{-2}$, $a-\sqrt{-2}$ の公約数とする. $\delta$ が $K$ の単数であることをいえばよい.

$O_{K}$ において $\delta$ は $a+\sqrt{-2}$ を割るから, $\mathbb{Z}$ において $N_{K/\mathbb{Q}}(\delta)$ は $N_{K/\mathbb{Q}}(a+\sqrt{-2})=a^{2}+2$ を割る. $a$ は奇数であると仮定しているから, $N_{K/\mathbb{Q}}(a+\sqrt{-2})$ は奇数である. よって, $N_{K/\mathbb{Q}}(\delta)$ も奇数である.

一方, $O_{K}$ において $\delta$ は $(a+\sqrt{-2})+(a-\sqrt{-2}) = 2\sqrt{-2}$ を割るから, $\mathbb{Z}$ において $N_{K/\mathbb{Q}}(\delta)$ は $N_{K/\mathbb{Q}}(2\sqrt{-2})=8$ を割る. ところが, $N_{K/\mathbb{Q}}(\delta)$ は奇数であったから, $N_{K/\mathbb{Q}}(\delta)=1$ でなければならない. したがって, $\delta$ は $K$ の単数である. (証明終)

[定理] 方程式 $x^{3} - y^{2} = 2$ の整数解は $(x, y)=(3, \pm 5)$ のみである.

[証明] $(x, y)$ を方程式 $x^{3} - y^{2} = 2$ の整数解とする.

もし仮に $y$ が偶数であるとすると, $$ 3\mathrm{ord}_{2}(x) = \mathrm{ord}_{2}(x^{3}) = \mathrm{ord}_{2}(y^{2} + 2) = 1. $$ これは不可能である. ゆえに, $y$ は奇数でなければならない. 補題より, $O_{K}$ において $y+\sqrt{-2}$, $y-\sqrt{-2}$ は互いに素である. また, $O_{K}$ において, $$ x^{3} = y^{2} + 2 = (y + \sqrt{-2})(y - \sqrt{-2}) $$ と分解する. $O_{K}$ は素元分解整域だから, $y+\sqrt{-2}$, $y-\sqrt{-2}$ はそれぞれ $3$ 乗数の単数倍である. ところが, $K$ の単数は $\pm 1$ のみであり, それらは $3$ 乗数である. 実際, $\pm 1 = (\pm 1)^{3}$ (複号同順). ゆえに, $y+\sqrt{-2}$, $y-\sqrt{-2}$ はそれぞれ $3$ 乗数である. したがって, ある $a$, $b\in\mathbb{Z}$ が存在して, $$ y+\sqrt{-2} = (a+b\sqrt{-2})^{3} $$ と表せる. 右辺を展開して実部と虚部をそれぞれ比較すると, \begin{align*} y &= a^{3} - 6ab^{2} = a(a^{2}-6b^{2}), \tag{1} \\ 1 &= 3a^{2}b - 2b^{3} = b(3a^{2}-2b^{2}). \tag{2} \end{align*} (2) の後半より $b=\pm 1$. (2) の前半より $$ 1 = 3a^{2} - 2b^{3} \equiv b^{3}\pmod{3}. $$ もし仮に $b=-1$ であるとすると, $1\equiv -1\pmod{3}$ となり矛盾が生じるから, $b=1$ である. このとき, (2) の前半は $$ 1 = 3a^{2} - 2. $$ これより $a=\pm 1$ を得る. (1) より, $y=\pm 5$. よって, $$ x^{3} = y^{2} + 2 = 27. $$ これより $x=3$ を得る. (証明終)

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