方程式x^3-y^2=4の整数解について (2)

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[定理] 方程式 $x^{3} - y^{2} = 4$ の整数解は $(x, y)=(2, \pm 2)$, $(5, \pm 11)$ である.

[証明] $(x, y)$ を方程式 $x^{3} - y^{2} = 4$ の整数解とする.

もし仮に $y\equiv 0\pmod {4}$ であるとすると, $y^{2}\equiv 0\pmod{16}$ であるから, $$ x^{3} = y^{2} + 4 \equiv 4\pmod{8}. $$ これより, $x$ は偶数だから, $x^{3}\equiv 0\pmod{8}$. これは矛盾である. ゆえに, $y\not\equiv 0\pmod{4}$ である.

$y$ が奇数のとき, 補題より, $O_{K}$ において $y+2i$, $y-2i$ は互いに素である. また, $O_{K}$ において $$ x^{3} = y^{2} + 4 = (y + 2i)(y - 2i) $$ と分解する. $O_{K}$ は素元分解整域だから, $y+2i$, $y-2i$ はそれぞれ $3$ 乗数の単数倍である.

$y\equiv 2\pmod{4}$ のとき, 補題より $O_{K}$ において $(1+i)^{3}$ は $y+2i$, $y-2i$ の最大公約元であるから, $(y+2i)/(1+i)^{3}$, $(y-2i)/(1+i)^{3}$ は互いに素である. また, $1+i$ は $O_{K}$ の素元であり, \begin{align*} 3\mathrm{ord}_{1+i}(x) &= \mathrm{ord}_{1+i}(x^{3}) \\ &= \mathrm{ord}_{1+i}(y+2i)+\mathrm{ord}_{1+i}(y-2i) \\ &\geq 3 + 3 = 6 \end{align*} より $\mathrm{ord}_{i+i}(x)\geq 2$ であるから, $x/(1+i)^{2}\in O_{K}$ である. したがって, $O_{K}$ において $$ \left(\frac{x}{(1+i)^{2}}\right)^{3} = \frac{y^{2} + 4}{(1+i)^{6}} = \frac{y + 2i}{(1+i)^{3}}\frac{y - 2i}{(1+i)^{3}} $$ と分解する. $O_{K}$ は素元分解整域だから, $(y+2i)/(1+i)^{3}$, $(y-2i)/(1+i)^{3}$ はそれぞれ $3$ 乗数の単数倍である.

いずれにせよ, $y+2i$ は $3$ 乗数の単数倍である. $K$ の単数は $\pm 1$, $\pm i$ がすべてであり, それらは $3$ 乗数である. 実際, $$ \pm 1 = (\pm 1)^{3},\quad \pm i = (\mp i)^{3}. \quad (\mbox{複号同順}) $$ ゆえに, $y+2i$, $y-2i$ はそれぞれ $3$ 乗数である. したがって, ある $a$, $b\in\mathbb{Z}$ が存在して, $$ y+2i = (a+bi)^{3} $$ と表せる. 右辺を展開して実部と虚部をそれぞれ比較すると, \begin{align*} y &= a^{3} - 3ab^{2} = a(a^{2}-3b^{2}), \tag{1} \\ 2 &= 3a^{2}b - b^{3} = b(3a^{2}-b^{2}). \tag{2} \end{align*} (2) の後半より $b=\pm 1$, $\pm 2$.

$b=\pm 1$ のとき. (2) の前半より $$ 2 = 3a^{2}b - b^{3}\equiv -b^{3}\pmod{3}. $$ もし仮に $b=-1$ であるとすると $2\equiv 1\pmod{3}$ となり矛盾が生じるから, $b=1$ である. このとき, (2) の前半は $$ 2 = 3a^{2} - 1. $$ これより $a=\pm 1$ を得る. (1) の後半より $y=\pm 2$. よって, $$ x^{3} = y^{2} + 4 = 8. $$ これより $x=2$ を得る.

$b=\pm 2$ のとき. (2) の前半より $$ 2 = 3a^{2}b - b^{3}\equiv -b^{3}\pmod{3}. $$ もし仮に $b=2$ であるとすると $2\equiv -8\equiv 1\pmod{3}$ となり矛盾が生じるから, $b=-2$ である. このとき, (2) より, $$ 1 = -3a^{2} + 4. $$ これより $a=\pm 1$ を得る. (1) の後半より $y=\pm 11$. よって, $$ x^{3} = y^{2} + 4 = 125 = 5^{3}. $$ これより $x=5$ を得る. (証明終)

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