素数に関する用語集

素数に関する用語集。

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双子素数

二つの素数の組 $p$, $q$ ($p < q$) が双子素数であるとは, $q=p+2$ が成り立つときにいう. 双子素数が無限に多く存在するかどうかは現時点 (2012年7月時点) で未解決の問題である.

Fermat 素数

$2^{m}+1$ なる形をした正の整数が素数ならば, $m$ は $2^{n}$ の形でなければならない. $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ ($n=0$, $1$, $2$, $\ldots$) とおく. 各 $F_{n}$ を Fermat 数という. また, Fermat 数のうち素数であるものを Fermat 素数という. $F_{0}$ から $F_{4}$ までは素数である. Fermat はすべての $F_{n}$ が素数だろうと予想した. しかし, $F_{5}$ が合成数であることが Euler により示された. その後, 素数かどうか判定された Fermat 数はすべて合成数である. $F_{5}$ 以降の Fermat 数で素数になるものがあるかどうかは現時点 (2012年7月時点) で未解決の問題である.

Mersenne 素数

$2^{m}-1$ なる形をした正の整数が素数ならば, $m$ は素数でなければならない. 素数 $q$ に対して $M_{q}=2^{q}-1$ とおく. 各 $M_{q}$ を Mersenne 数という. また, Mersenne 数のうち素数であるものを Mersenne 素数という. Mersenne 素数が無限に多く存在するかどうかは現時点 (2012年7月時点) で未解決の問題である.

Sophie Germain 素数

素数 $p$ が Sophie Germain 素数であるとは, $2p+1$ も素数であるときにいう.

Wilson 素数

合同式 $(p-1)!\equiv -1 \pmod{p^{2}}$ を満たす素数 $p$ を Wilson 素数という.

Wieferich 素数

合同式 $2^{p-1}\equiv 1\pmod{p^{2}}$ を満たす素数 $p$ を Wieferich 素数という.

正則素数

奇素数 $p$ が正則であるとは, $p$ が円の $p$ 分体の類数を割らないときにいう. そうでないときは非正則であるという. 奇素数 $p$ が正則であるためには, Bernoulli 数 $B_{2}$, $B_{4}$, $\ldots$, $B_{p-3}$ の $p$ 指数がすべて $0$ であることが必要十分である.

擬素数

以下の記事を参照.

擬素数

Goldbach 予想

$5$ より大きな任意の整数は, $3$ 個の素数の和で表される. この主張を Goldbach 予想という. Goldbach が Euler に宛てた手紙の中で述べた. この予想が成り立つかどうかは現時点 (2012年7月時点) で未解決である.

原始根に関する Artin 予想

$2$ が $p$ を法とする原始根であるような素数 $p$ が無限に多く存在する. この主張は Artin 予想と呼ばれており, 現時点 (2012年7月時点) で未解決である.

素数定理

実数 $x>0$ に対して, $x$ 以下の素数の個数を $\pi(x)$ で表す. $\pi(x)$ は素数計数関数と呼ばれる. 素数定理とは, $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\log(x)} = 1 $$ が成り立つという定理である. $\displaystyle \mathrm{Li}(x)=\int_{2}^{x}\frac{dt}{\log(t)}$ とおくとき, 素数定理は $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{\mathrm{Li}(x)} = 1 $$ と同値である. 素数定理は, Gauss によって予想され, 1896 年に Hadamard と de la Vallée Poussin によって独立に証明された.

Dirichlet の算術級数定理

$a$, $m$ を整数とし, $m\geq 2$ かつ $\gcd(a, m)=1$ であるとする. このとき, 合同式 $$ p\equiv a\pmod{m} $$ を満たす素数 $p$ が無限に多く存在する. これを Dirichlet の算術級数定理という. Dirichlet が 1837 年に証明した.

参考文献

  • Ribenboim (著), 吾郷孝視 (訳): 素数の世界 その探索と発見, 共立出版, 1995.
  • Crandall (著), Pomerance (著), 和田秀男 (監訳): 素数全書 計算からのアプローチ, 朝倉書店, 2010.

【theme : 数学
【genre : 学問・文化・芸術

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