二項係数の大きさの評価

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[命題] 任意の整数 $n\geq 1$ に対して, $$ \frac{2^{2n}}{\sqrt{(n+1/2)\pi}} < \binom{2n}{n} < \frac{2^{2n}}{\sqrt{n\pi}} $$ が成り立つ.

[証明] まず, $$ I_{n} = \int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx\quad (n=0,1,2,\ldots) $$ とおく. この定積分について, $$ I_{n} = \begin{cases} \displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2}, &\mbox{$n$ が偶数のとき}, \\ \displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!}, &\mbox{$n$ が奇数のとき} \end{cases} $$ となることが知られている. ここで, $$ n!! = \begin{cases} n(n-2)\cdot\cdots\cdot 6\cdot 4\cdot 2, &\mbox{$n$ が偶数のとき}, \\ n(n-2)\cdot\cdots\cdot 5\cdot 3\cdot 1, &\mbox{$n$ が奇数のとき}. \end{cases} $$ 一方, $0\leq x\leq \pi/2$ のとき, $0\leq\sin x\leq 1$ であるから, $$ \sin^{2n+1}x\leq\sin^{2n}x\leq\sin^{2n-1}x\quad (n=1,2,3,\ldots). $$ しかも, $0<x<\pi/2$ のとき, 上の不等式において等号は成立しない. ゆえに, $$ I_{2n+1}<I_{2n}<I_{2n-1}\quad (n=1,2,3,\ldots). $$ すなわち, $$ \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} < \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{\pi}{2} < \frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}\quad (n=1,2,3,\ldots). $$ これを変形すると, $$ \frac{1}{(n+1/2)\pi} < \left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^{2} < \frac{1}{n\pi}\quad (n=1,2,3,\ldots). $$ さらに, $$ (2n)!=(2n)!!\cdot(2n-1)!!,\quad (2n)!! = 2^{n}\cdot n! $$ であることに注意すると, $$ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} = \frac{(2n)!}{((2n)!!)^{2}} = \frac{1}{2^{2n}}\cdot\frac{(2n)!}{(n!)^{2}} = \frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}. $$ ゆえに, $$ \frac{1}{(n+1/2)\pi} < \left(\frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}\right)^{2} < \frac{1}{n\pi}\quad (n=1,2,3,\ldots). $$ これより, 求める不等式が得られる. (証明終)

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